第6章离散信号与系统的频域分析图6.2－1(a)所示f(k)为一离散时间周期信号，当其周期N趋于无穷大时，周期信号f(k)就过渡为非周期信号f(k)。fn(k)[K\<N1f(k) :(6.21)10[K>Ni据DFS的定义，图6.2-1(a)所示离散时间周期信号f(k)的离散时间傅里叶级数表示式为2元nkN(6.2-2)ZF.fn(k) =8nn=<N>2元1knNZf.(k)eH(6.2—3)Nn=<N>
第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.2 - 1(a)所示fN(k)为一离散时间周期信号，当其周期N趋 于无穷大时，周期信号fN(k)就过渡为非周期信号f(k)。 = 0 ( ) ( ) f k f k N |k|≤N1 |k|＞N1 据DFS的定义，图 6.2 -1(a)所示离散时间周期信号fN(k)的离 散时间傅里叶级数表示式为 = − = = = n N kn N j N n n N n k N j N n f k e N F f k F e 2 2 ( ) 1 ( ) (6.2－1) (6.2－2) (6.2－3)
第6章 离散信号与系统的频域分析N由图6.2-1(a)可知，当N,<k时f(k)=0，式(6.2-3)可写为<2N.NZf(k)eFnNk=-Ni又由于当k<N,时，(k)=(k)，上式又可写为TNikn1Nf(k)eF.nNk=-Ni
第6章 离散信号与系统的频域分析 由图 6.2-1(a)可知，当 时fN(k)=0，式(6.2-3)可写为 2 1 N N k =− − = 1 1 2 ( ) 1 N k N kn N j n N f k e N F 又由于当|k|≤N1时，fN(k)=f(k)，上式又可写为 =− − = 1 1 2 ( ) 1 N k N kn N j n f k e N F
第6章 离散信号与系统的频域分析则有N,DZf(k)eNF.(6.2-4)nk=-N12元式(6.2一4)中,当N→0时，其频谱间隔趋于无穷小N2元量da;而趋于频率变量の;N·F,的极限为の的函数，N记为F(ejo);再考虑到当K>N,时，f(k)=0；因此，式(6.2一4)写为8Zf(k)e-jokF(ejo) =(6.2-5)k=-00
第6章 离散信号与系统的频域分析 则有 =− − = 1 1 2 ( ) N k N kn N j n NF f k e =− − = k j j k F e f k e ( ) ( ) (6.2－4) 式(6.2－4)中，当N→∞时，其频谱间隔 趋于无穷小 量dω;而 趋于频率变量ω;N·Fn的极限为ω的函数， 记为F(ejω);再考虑到当|k|＞N1时，f(k)=0；因此，式(6.2－4)写 为 N 2 n N 2 (6.2－5)
第6章离散信号与系统的频域分析式(6.2一5)就称为信号(k)的离散时间傅里叶变换定义式。与连续时间的情况一样，F(ejo)也称为f(k)的频谱密度函数。它是の的连续函数。而且是の的周期函数，其周期为2元。将式(6.2一5)与式(6.2一3)对照可知，非周期信号(k)的离散时间傅里叶变换F(ejo)与其对应的周期信号f(k)的离散时间傅里叶级数F，之间的关系为1F.=二Hn(6.2 一6)N2元0oN
第6章 离散信号与系统的频域分析 N j n n F e N F 2 0 0 ( ) 1 = − = 式(6.2－5)就称为信号f(k)的离散时间傅里叶变换定义式。 与连续时间的情况一样，F(ejω)也称为f(k)的频谱密度函数。 它是ω的连续函数。而且是ω的周期函数，其周期为2π。将 式(6.2－5)与式(6.2－3)对照可知，非周期信号f(k)的离散时 间傅里叶变换F(ejω)与其对应的周期信号fN(k)的离散时间傅 里叶级数Fn之间的关系为 (6.2－6)
第6章离散信号与系统的频域分析2元式中,の这表明：周期性离散时间信号的傅里叶N级数系数就是与其相对应的非周期信号的离散时间傅里叶变换在nのo点的样本；非周期序列的离散时间傅里叶变换就是与其相对应的周期信号离散傅单叶级数系数的包络。将式(6.2一6)代入式(6.2一2)，可得1≥F(e-jnoo )ejoonkfn(k) = --Nn=<N>(6.2-7)
第6章 离散信号与系统的频域分析 n n k n N N F N f k 0 0 j j (e )e 1 ( ) − = = 式中， 。这表明：周期性离散时间信号的傅里叶 级数系数就是与其相对应的非周期信号的离散时间傅里叶 变换在nω0点的样本；非周期序列的离散时间傅里叶变换 就是与其相对应的周期信号离散傅里叶级数系数的包络。 将式(6.2－6)代入式(6.2－2)，可得 N 2 0 = (6.2－7)