两个重要极限 (1). lim sinx x→0 sin△0 SIn lim 型,三统一)或 lim- 4 型,三统一) △→0△0 △→∞ sInx sin 3x sin 3x 从而可求lim Im 2x x→102x SInx 证明因f(x) f(-x) 故只须讨论x>0的情形. 在如右图的单位圆中,设∠0B=x0<x<2 而△AOB的面积<扇形AOB面积<△AOD的面积 从而sinx<3x<tanx→sinx<x<tanx(0<x<
6 二.两个重要极限 0 sin (1).lim 1 x x → x = 0 sin 0 lim (" " , ) → 0 型 三统一 或 1 sin 0 lim (" " , ) → 1 0 型 三统一 从而可求 0 0 0 sin sin3 sin3 lim ; lim ; lim . x x x 2 2 xxx → → → x x x 1 A o C B D ˘ ›x 证明 因 sin ( ) ( ) x f x f x x = = − 故只须讨论 x > 0 的情形. 在如右图的单位圆中, 设 (0 ) 2 AOB x x = 而ΔAOB的面积 < 扇形AOB的面积 < ΔAOD的面积 从而 1 1 1 sin tan 2 2 2 x x x sin tan (0 ) 2 x x x x
同除以sinx得1<x<1 SInx →c0SX< sInr cosx 5x 0<1-s<1-coS x=2sin2<2 →0 sInd 从而lim(1 x→0 +)=0→ lim sinx x→0 例16.求(1).lm tanx 0 tanx SIn 解.lim =lim x→>0x △→0 r cos cos x (2). lim x→0 x 2sint SIn SIn 解 lim lim llim--I x→0 2=lim x→0x x→0 2x-0x
7 从而 1 sin 1 cos 1 sin cos x x x x x x 2 sin 2 2 0 1 1 cos 2sin 2 ( ) 0 2 2 2 x x x x x x − − = = → 0 0 sin sin lim(1 ) 0 lim 1 x x x x → → x x − = = 例16. 求 0 tan (1).lim ; x x → x 同除以 sinx 得 故 2 0 1 cos (2).lim ; x x → x − 0 0 tan sin 1 . lim lim 1 x cos x x → → x x x 解 = = 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2sin sin sin 1 cos 1 1 1 2 2 2 lim lim lim [lim ] 2 2 2 ( ) 2 2 x x x x x x x x → → → → x x x x − 解 = = = =