方学数宣·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 设函数y=八x)在和的某一左邻城 (0~,知]内有定义，若im f'(6）= 设4二g(x)在x处可导，y=八)在“=g(x)处可导，则复合 明数x) Ax+0 复合函数求导 函数y=f开g(x)]在x处可寺，并且 在：和处的 和+一-八如存在，则称之为 m+4)-f) (Ag()]y=f'ig(x)].g(x) 左导数 y=f八x)在和处的左导数 若函数y二f八.》满足万程F(,代x)》=0,则称y=八x》是方 设，=了(x)在和之某个右邻城[0， 隐函数求导 程F(x,y）=0所确定的隐函数.求导时，只须将方程F(,y）= 函数y■ 和+6)有定义， 若四 f'+(0)至 0中的y视作x的函数，两边对x求导，最后整理出y=g(￥·y) 八)在和 的样子即可 处的右导 数 孔0+△x)-代如2存在，喇称之为 lim so+A)no) x 八x)在和处的有宁数 先将方程两边取对数，利用对数性质将兼除化作加城，方幂化作 函数八x) 对数求导法 乘除，再利用隐函数求导的方法来求导，一般用于多个因子连乘 在(a,b 若函数f八x)在(a,b)内每一点处均 除，开方，乘方或形如()（引这样的函数 可导 内可导 函数x) 设函数￥=p(y)在(c,d)上严格单调且值域为(a,b).若x= 若函敷八x)在(a,b)内可母，月在a 在[a,b] 9(y)在(e,d)人可导且g(y)≠0，则其反函数y=(x)在(a, 上可异 处在右导数存在，在b处左导数存在 反函数求导 )上可导且f'(x)==可 表2.1-2可导函数的性质及导数的几何意义 表2.1-4常用基本求导公式 可导与连 若函数八x)在x处可帚，则八x)一定在x处崖续，反之不一定 (cy=0,(e一常数) 续的关系 (wcoss)=-≥ (x=x-1; ((arctan*Y=1+家2 1 导数与左、 右亭数的 函数只x)在x点处可守的充分必婴条件是函数代：)在x点处的左右 (nxy=c0鸣x; 导数存在并且相等 关系 (coex)'上-sintt (e)=e"; 若y=fx)在动处可导，则了P(x)为曲线y兰八x)在(0，八0)斑 切线的斜率 切线方程：y-式和》=广'（和）(x-和) 导数的儿 何意义 法线方程：y-八)■“F幻) (lanx)'=secx; (a)'=alha,(a>0a≠1 f'(x)=如表示曲线y=八x)在(0，八0)》处有铅直 切线 (cotx)'=-cscx: (hiy 表2,1-3求导法则 1ay=aa>0a40 法则 定理及公式 设函数代x,g(x)在点x处可导，则八x)±g(x),x)·g{x, 器g0在：处的国华，且 四则运算 1)fx)±gx月=f"(x)±g(x) 2)f)·g(x)]=f(x)g()+八x)g(x) 》.@,0 8(x)
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与学数宣·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 so望s7s望o堂料堂4重4种望空ao坐e堂望co宜堂o望as堂s里e §2.2高阶导数与微分 里亚46空量o堂望s堂6宜空宜Y堂堂宜Y宜 本章知识网络图 2.2.1主要内容及理解记忆方法 定义 表2.2-1高阶导数的定义及其蓝本公式 定义左、右导数 设y=八x)的导函数y=(x)可导，则称y=f“(x)的导数(f“(x)”为 导数存在的充分必要条件 阶 y=a)的二阶学数，记作()或 儿何意义 设y=代x)的二阶学数y∫“(x)可导，称y=f(x)的导数(U(x) 可导与连续的关系 为y=八：)的三阶导数记作了()政器 x定义（左、右寻数） 定 设y=x)的n-1阶导数y=-()可导，则称y=人山（￥）的导数 导数 基本公式 文 (✉y为y=)的a阶号数，记作()碧 四则运算 求导方法 复合函数求导法 (1)儿u(x)±v(x)]}=a()tv(x) 隐函数求导法 质 (2[c·u(x)=c.(x) (3)[u(am+b)]a=u(a=+b)·a 导数与微分 对数求导法 的 ()(x)gm(m-1)(m-n+1)x (0<B≤m) 高阶导数{高阶导数求导方法 (xa)=n!(n为正整数) 本性质和 (2)(e)=62 定义 (31+z]e=(-)-1n-1盟 徽分 河导与可微的关系 它 (1+x)n 徽分的基本性质及求法 (4(snr)o=(s+n·受) (6)(eee)=os(x+n·交) a(a“.小 第三章 中值定理与导数的应用 表2.2-2微分的定义，几何意义 表3.3-1 微分中值定理 定义 几何意义 图例 名称 定理 图示 几何意义 设函数y=八x)满足 如果连曲线 设y=(x)在x点的装个 除去 邻威内有定义若y=八￥) 罗尔定 处均有切提 非作铅直的 在x处的增量△y=八x+ 理 y=fx) 相 △x)-八x）可表乐为： (Rolle) △y=A·dx+w(Ax) △y 其切线是水 其中A仅与x有关向与△x 「微分是切线纵 0 平 无关则称y=八x)在x处 坐标的改变其 可微：并称△y的线性部分 ·4x为y=八x》在x处的 做分.i心作dy=A·△x (注：4x=dx) 表2.2-3微分的性质 可微与可护的关系 函数fx》在x处可做八》在x处可导，且dy=f(dx (1) d(w士)=d丝士ds 做分的四则诺算 (2) du·v)=la+a (3) 水g) 复合函数的微分（一 阶微分的形式不变 若y=代4)，4s()均可微，划复介函数y=【a(x)]也 性) 可微，且其微分dy=∫()da=f'iu(x)门4(xx
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亏学效言·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 表3.2-2 其他类型不定式转化为8戏型 如果连续曲线 不定式类型 朝化过程 x)在(a,b)内 除了绵点外处有 0·m 0%=0 线（非铅），姆 00 y=f(r) 在其上必有一点 注：也 C,切线平行于 +06 - 曲线的弦B 0<8<D 「x=gt 1=e"=e*0 设傲x,gx)满起 问上，只是由 R6) 柯西定理 线由参数力程 (Car fa) Jx=g(t) hy) A ly=f() e0=n=0 b)-a o gfa) 86 a写【5b给出 表3.3-3函数的增减性判别法 若f八x)在[a,]上连续，(a,b)内导，并 推论 推论中区间可改 拉格朗 且f(x)=0,x∈(a,b),则f八x)=常数 定理上 设函数y二八x)在(，)内可京，并且f'(x）>0M<0),x∈(a, 为[a,+e).- 6),则y三八x》在(：，)内严格单调递增（递诚） I中值 x∈[a,b] ,6以及(a 定理的 若八x)、g(x)在ia,上连续，(a,)内可 b),a,b),(a 推论 导，且'(x)=g(x),xE(a,),则八x)= ]等，推论仍然 设函数y=代x)在[a,b]上连续，在(，)内导，并且(x)> 推论 定理2 2 Z成立 0(<0)x∈(a.b).则y=八x》在[a,b]上严格单调递增（递减） g(x)+C,x∈[a,],其中C为一个常数 (1)以上两定理均可推广无区间 §3.2 洛必达法则与函数的单调性 注 (2)注意两定理的荣别，有时裙要讨论增点时，一定要考虑在端点 宜a*管as学堂6堂eo?46雪堂a里堂管o空堂空s置6望空s空星s26堂o堂宜a 处的连续性，例如在用单闲性设明不等式时 3.2.1 主要内容及理解记忆方法 表3.2-1洛必达法则 类型 条件 钻 论 §3.3函数的极值以及最大值和最小值 设(1)六x),g(x)在a的某去心邻域 (a,8)内迹线，Himx)=my(x)=0 日型 得-器 3.3.1主要内容及理解记忆方法 (2)x),g(x)在0(a,8)上可导，且 表3.3“上极值、极值点 g(x)≠0 转：当a÷士田，有类似定型 )g f'(x) 日(k为有限数或士如) 义 补充说明 设y=八x)在和的某个邻域 设(1)fx),g(x)在a的某去心邻城 内有定义1)若在o的某个去 U(a,)内连续，且1）=g(x）= 心邻城内恒有八x)<八和》： (1)极大值与极小值统称极值，极大值点与 则称（和）为函数y=f孔x)制 极小值点统称椒值点 极大值，和称为极大值点 (2》极值是·个局部概念，其定义中的邻城 (2)八x】.g(x)在U(a,6)上可导.且 注：当a=±时，有类似 定理 (2)若在和的某个去心邻城内 究竞有多大无关策要，而最侦（最大值，最小值】 (x)0 (x》 恒有八)>八知)，则称 是个整体概念，是对于整个区间而言的 {3)g =k(年为有限数或±四) 八0)为函数y=只x)的极小 值，和称为极小位点 表3.3-2极值判别法 判别定理 补充说明 (1)若f(0）■0， 则称和为函数爪x 的一个驻点 (2)导数为0的点不 必樱 设的数八x)在和处可导，并且(x)在和处取 一定就是极值点，例 条件 得板值，则∫'（和）=0 如f八x)-2,0=0 (3)极值的必要条 件说明了：极值一定 发生在驻点成导数不 存在的点处
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方学纹宣·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 判别定理 补充说明 设函数八x)在0的某个邻城U(o,8》内连 理a6置YooTaoToo7ast4里nao7sY72s7a67e堂理67 续，在去心邻城U(和，6)内可导 §3.4曲线的凹凸性、拐点、 第一 (1)若当0-8<x<和时，f'()>0,而 渐近线以及函数作图 充分 当0<￥<和+6时，f(x》<0,则（和）为 望6重w堂业童n2s重%里s实变ist 条件 极大值 (2》若当0-8<x<知时，f(x)<0,而 3.4.1主要内容及理解记忆方法 当0<*<+8时f(x)>0,划)为 极小值 表3.4-1曲线的凹凸性的定义 定义 几何意义 设函数(x)在0的某个邻域队和，B)内可 例图 第二 守，且f‘(和)=0，f"(和)存在 充分 （1)若f“(和）<0，则八和)为极大位 设函数代x)在区间1 条件 (2)若f“()>0,则f(0)为极小值 上连续。 (3)若∫（和）=U,不能确定 姻果对1上任意两点 fx)+fx) 无，月知≠和恒有 2 若的线上任-弦的中 表33-3求函数极值的一般步骤 八牛超) 2 点位于曲线上方，则 曲线为阿的（向下凸）】 第一步：确定函数的定义域 )+f红】 2 1土久 第二步：求导，由f‘(x)=0解出驻点，并列出导数不存在的点 则称(x)在I上的图 第三步：用极值存在的充分条件判别以上点是否确实为极值点，若是，求出极俏 形是（向上》阿的（或 下凸的) 注： 当驻点或导数不存在的点较多时，列表用第一充分条件判别比较简提 表3.3-4求闭区间[a,]上函数八x)的最值的一般步骤 第一步：求导将f'(x),在所讨论区间(a,)求出f(x)=0的根： 设函数代x)在区间1 x1,，，xn 上连续.如果对1.上任 第二步：在(a,b)内，求出f'(x)不存在的点1：2， 意两点1，和且到≠ f() 第三步：计算出f),),,),),…n)以及a》,b) 恒有 若曲线上任一弦的中 生) x升X过 第四步：比较第三步中计算出的函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值 > 点位于曲线下方，则 线为凸的 )+x 21 则称f八x)在I上的图 2 形是凸的（向上凸】 表3.4-2曲线凹凸性判别定理 设八x)在区间11连续，在区间1内二阶中，则 (1)若(x)>0,x∈1，则x)在1上的图形是叫的 (2)若f()<0,x∈1，则x)在1上的图形是凸的 (其中1表示去掉1的端点后得到的开仅倒) 9
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勿与学李纹·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 表3.4一3拐点的定义、性质及判别法 定义 质 性 判别法 若(，)》为曲线 设式x)在和的某个 y=八x)的拐点，并 设其x)在和的邻城，8) 邻城(0，)内连 抖f"(x)存在，则 续，若曲线y=f代x) f"(x)=0 内连续，在去心邹城U(,) 在点(，八)的两 内二阶可宁若f(x)在和的 steo单PosTan里w置里eoPaoRasTa宝TaoPeoYePaoPao0宜6望aew空6理o2e 侧叫凸性正好相反， 左、右邻域（和-8，和）和(0， §3.5微分学在经济中的应用 则称点（和代）为洋：出以上性质可见， x+8)内符号相反，竭(0 度a6宝ew登里6g%2sw安o亚s望s宜s里s第生望esY堂宜ast6望望aYs望w业6 曲线y=fx)的一个 拐点只能发生在二阶 八)为曲线y=f代x)的拐 拐点 导数为0或二阶亭数 点 3.5.1主要内容及理解记忆方法 不存在的点处 表3.5-1边际函数的概念及常见边际函数的经济意义 定义 数学及经济解释 表3.4-4曲线的渐近线 边 设y=代x)在区间I内可导，则称 x)-f(x-1)f'(x) 际 导函数∫'()为函数f氏x)的边际 x+1)-f代x)uf'(x) 函数，(x)在0∈1处的值 由此派生出经济学中各种边际量 水平渐近线 若m到：A或m=A或m到=A,则 数 f'(和）称为边际（的数）值 的经济意义 y一A为曲线y=式x)的条水平渐近线 Cw(Q)=c,(Q)-C(Q-1) 边 设总成本函数为Cr=C,(0),其 C(Q)Cr(0+1)-Cr(0) 若imf代x)=o或imf孔x)=的或imf代x)=,则 中0为产量，则作产Q个单位产品 刊此C(Q)可近似地理解为生产 垂直渐近线 6 一 时的边际成本函数为： 0个单位后增加的那个单位*最 x=和为曲线y=八x)的一条垂直渐近线 本 Cw dc-(o) do 所花的成本或生产：0个单位产品 时最后一个的成本 Ry(Q)=Ry(0+1)-Rr(0) 若m 血圣=a,i)-=6放存在埔直线y 边 设总收益函数为Rr=R,(O),其 Rw(0)Rr(Q)-Rr(@-1) 料渐近线 巾Q为产量，烟销售Q个单位产品 因此，Rw(Q)可近似炮理解为销 =贴+b是曲线y:代x)的藩近线 时的边际收益为： 售Q个单位产品后再销售的那个 (也可将x→0改为x+的或x+-0,结论不变) 益 Ru dRr(Q) do 单位产品所得的收益，或销售第Q 个单位产品的收益 表3,4-5确定曲线y=八x)的凹凸性、拐点的一般步骤 设总利海函数为π=r(Q),其中Q 元w(Q)ar(Q+1)-x(Q】 际 为产量，则销售Q个单位产品时的 xx(Q)=x(Q)-x(Q-1) 利 边际利润为 因此，R(Q)可近似地理解为销 第一步：确定函数氏x)的连续风间 润 ”we(Q 售第Q+1或Q个单位产品的利润 第步：求出二阶导数∫{x,架出f(x】=0的根以及二阶导数不存在的点： ao ,2,…, 第三步：曲以上点x,…,x,将连续区间分成若干子区间，列表讨论∫”(x)的符号 第四步：根诺∫(x)的符号，判断凹凸性区间，以及拐点 表3.4-6函数作图的一般步骤 第步：求出函数的定义域，并考察函数的奇、俱性、周期性 第二步：求出∫'(z小(x),并进一步求出"(x）=0∫"(x）=0以及'(x小、 ∫(x)不存在的点 第三步：以上点将定义区间分成若子区间，列表讨论∫'(x以∫"(x}的符号，进 而确定(x)的单区间、凹凸区间、极值以及拐点 第四步：求出y=(x)的渐近线 第五步：计算几个特殊的点的函数值，画出图形
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