第四章量子力学中的力学量 若H (2+p] +p2)+v( 证明:[H,P]=in [H,x=-in Px 2、设[qp]=inpf(q)是q的可微函数,证明 (1)a, p-f(q)=2ihpf (2)p,pf(q)]=pr; 3、证明 LA, B, C]+B,C, A+C,A, b=o 4、如果,A,B是厄密算符 a+B A, B 是厄密算符; (2)求出AB是厄密算符的条件 证明 ae-l=a+l,a +A 3 6、如果A,B与它们的对易子A,B都对易,证明 提示,考虑()=2,c2.c2(+,i明=[A,时然后积分 7、设是一小量,算符A和A_存在,求证 A-2B)-=A-+2A-BA-+22A-+2A-BA-BA-+A 8、如uni是能量En的本征函数(i为简并指标),证明
第四章 量子力学中的力学量 1、 若 ( ) H px + py + pz + V(x,y,z) μ = 2 2 2 2 1 证明： , x V [H,P ] i x ∂ ∂ = η , p [H,x] i x μ = − η 2、设[ ] q,p = iη,f(q)是q 的可微函数，证明 （1）[q,p f(q)] 2ihpf, 2 = （2）[ ] p f ; i p,p f(q) = ′ 2 η 2 3、证明 + + B]] ≡ 0 ˆ A, ˆ C,[ ˆ A]] [ ˆ C, ˆ B,[ ˆ C]] [ ˆ B, ˆ A,[ ˆ [ 4、如果， A Bˆ ,ˆ 是厄密算符 （1）证明( ) [ ] Bˆ A, ˆ B ,i Aˆ ˆ n + 是厄密算符； （2）求出Aˆ Bˆ 是厄密算符的条件。 5、证明： = + [ ]+ [ [ ]]+ [ [ [ ] ]]+Λ − Aˆ L, ˆ L, ˆ L, ˆ ! A, ˆ L, ˆ L, ˆ ! Aˆ L, A ˆ Aeˆ eL Lˆ 3 1 2 1 6、如果A,B 与它们的对易子[ B] ˆ A, ˆ 都对易，证明 [ B] ˆ A, Aˆ B ˆ A Bˆ e e e 2 1 + + ⋅ = （提示，考虑 ( ) f( ) e e e , λAˆ λBˆ −λ Aˆ +Bˆ λ = ⋅ ⋅ 证明 [ ] A,B f d df = λ λ 然后积分） 7、设λ 是一小量，算符 −1 Aˆ 和Aˆ 存在，求证 − λ = + λ + λ + λ +Λ −1 −1 −1 −1 2 −1 2 −1 −1 −1 Aˆ Aˆ Bˆ Aˆ Aˆ Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ Aˆ B) Aˆ ˆ ( 8、如uni是能量En 的本征函数（i为简并指标 ），证明
∫u(px+D3x)dx=0 从而证明:可 uniPxxunj4=,6j 9、一维谐振子处在基态 q(x)= -a2x2/2 求:(1)势能的平均值A=-moX2; (2)动能的平均值T=P2/2m; (3)动量的几率分布函数 mo 其中 n 10、若L=Lx±iLy,证明 l=±nL士 (2)L+Im=C1 YIm+ L Y=C,Y i-1=1( 1、设粒子处于Ym1(,)状态,利用上题结果求△l2,△l2 12、利用力学量的平均值随时间的变化,求证一维自由运动的△X2随时间 的变化为 (x2)-ax2)+2 4(xP+Px)-)+ (注:自由粒子P,P3与时间无关)
∫ ( ) + = ∗ u xp p x u dx 0 ni x x nj 从而证明： ∫ τ = δ unipxxunjd ij i 2 η 9、一维谐振子处在基态 ( ) 2 1 2 2 2 a x / / e a x − π ϕ = 求： （1）势能的平均值A m X ; 2 2 2 1 = ω （2）动能的平均值T P / m; x 2 2 = （3）动量的几率分布函数 其中 η ω = m a 10、若L L iL ± = ± x y ,证明 (1) ± = ± L± ˆ L ] ˆ L , ˆ [ z η 0 2 2 [Lˆ ,Lˆ + ] = [Lˆ ,Lˆ − ] = (2) + 1 +1 L Ylm = C Ylm ˆ − 2 −1 L Ylm = C Ylm ˆ (3) ( ) − = + + + −L− Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ ˆ x y 2 2 2 1 11、设粒子处于Y ( , ) lm θ ϕ 状态，利用上题结果求 2 2 x y Δl ,Δl 12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的 2 ΔX 随时间 的变化为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 2 2 1 2 2 1 X X XP p X x p P t x t t X X x Δ μ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − μ Δ = Δ + （注：自由粒子 2 x Px P , 与时间无关）