第二章§2)研究L函数的裘点分布，从而证明了：一定存在一个 正常数0，使对任意的正数”<及任意正数A,有估计式 免(，0《o (36) 成立.进而，他利用Brun筛法和这一结果证明了命题{1，b}.但 这里的正数及正整数b都是没有定出具体数值的常数，所以这 是一个有趣的定性结果。若用他原来的方法去确定常数，将会 很小而b将是很大的.这样，具体地定出尽可能大的，并确定b 和之间的联系，就是证明命题{1，b}的关键问题了. 1962年，潘承洞证明了当0一号时，估计式(36)成立，并 由此得到命题{1,5}； 1962年，王元从进一步改进筛法着手，由和一推出了 命题{1,4}.同时，他还得到了0和b之间的一个非显然联系： 从0一，及=，1可分别推出命题{1,4}及{1,3. 3.327 2.475 1963年，e把这一结果改进为0一，1及=，1。 3.27 2.495 1962年，潘承洞6？及1963年，6ap6aH2互相独立地证明了 m一是时估计式(36)成立，并利用较为简单的筛法就证明了命 题{1,4： 1965年，Syxurrac661由o=三推出了命题{1,3； 8 1965年，A.I.BHHOrPaOB4]及E.Bombieri!都证明了 一上时估计式(36)成立，Bombicri的结果要稍强些（见第八 章§1)，这一结果通常称为Bombicri-BHHorPaIOB定理，它的重要 性是在于它在某些数论问题中起到了可以代替GRH的作用.由 这一结果再利用王元或Ie细的工作，他们就得到了命题{l, 3.这里应该指出的是，Bombicri的工作对大筛法，特别是大筛 法在数论中的应用作出了重要的贡献（第八章52）. ·14*
1966年，陈票润宣布他证明了命题{1,2}，当时没有给出 详细证明，仅简略地概述了他的方法。1973年，他发表了命题{1， 2}的全部证明1.应该指出的是，在他宣布结果到发表全部证明 的整整七年之中，没有别的数学家给出过命题{1,2}的证明，而且 似乎国际数学界仍然认为命题{1,3}是最好的结果.因此，当陈 景润在1973年发表了他的很有创造性的命题{1,2}的全部证明 后，立即在国际数学界引起了强烈的反响，公认为这是一个十分杰 出的结果，是对Goldbach猜想研究的重大贡献，是筛法理论的最 卓越运用，并且一致地将这一结果称为陈景润定理。由于这一结 果的重要性，在很短的时间内，国内外先后至少发表了命题{1,2} 的五个简化证明3，，B1,o1,B 陈景润的贡献，就方法上来说，在于他提出并实现了一种新的 加权筛法.在第九章，我们将会看到，为了实现他的加权筛法，在 估计余项上出现了Bombieri--BHHorpanoB定理所不能克服的困难. 后来，在文[89]，[90】中指出，利用陈景润的加权筛法证明命题 {1,2}的基础是证明下面新的一类均值定理（见第八章§2）： max max dsxlnog-Bs yx (id)1 y (37) 中(d)a/ 这亦是陈景润最近改进D()上界估计的基础。我们将在第八 章讨论(36)，(37)二种类型的均值定理，并在第九章证明命题 {1,3},{1,2}及介绍陈景润改进D(N)上界估计的方法. (三)密 率 最后，我们极简单地谈谈密率。密率是I.T.ILHHpeJbMaH] 在1930年所首先提出的关子自然数集合的一个十分重要的基本 概念.密率理论后来有广泛的发展和应用。关于这方面的内容可 参看[51]，[81]，[371，这里不作介绍了. ·15
在Landau提出想(c),并预言证明它是当代数学家力所 不及的之后，仅仅过去了二十年，HHpeTbMaH91在1933年就利 用他的密率理论和Bun筛法证明了清想(C).但他没有定出其 中的常数。如果我们以·表示最小的整数，使每一个充分大的 正整数都可表为不超过·个素数之和(g通常称为II皿xeJbMaH 常数)，从山pe西MaH的方法可以证明≤800,000，这一结果 后来得到了不断的改进. 1935年，PoMaHOB4061证明了5≤2208； 1936年，Icilbronn,Landau及Sekerk4切证明了s≤7l; 1936年，Riccit1证明了s≤67： 1950年，Shapio!1)证明了s≤20； 1956年，尹文群1证明了s≤18. 以上结果都是用初等的密率理论结合筛法得到的。如再利用 解析数论的一些高深的结果，可对·的数值作进一步的改进。这 方面的结果是： 1968年，Siebert!1]及Ky3eB,4e4ypot6a都证明了r≤10； 1976年，Vaughan2】证明了s≤6. 还应该提出的是，一些作者定出了猜想(C)中的常数，这 方面的结果是： 1972年，KMoB,几IbTA及ienTHuKas6]证明了？≤ 115; 1975年，KMoB63]证明了≤55； 1977年，Vaughan2)证明了≤27 由于从三素数定理立即可推出5≤4，所以本书将不讨论密 率及其所得到的结果.。当然，关于常数？的结果，目前只有用密率 的方法才能得到. 以上我们简单地回顾了二百多年来研究Goldbach猜想的历 史，介绍了主要的研究方法和取得的主要成果.对Goldbach猜想 1)目前最好的结果是J.M,Deshouillers（见Math,Revicws,575933)证明的 026. 16
的研究有力地推动了数论，函数论等一些数学分支的发展。它和 无数例子一样，再一次生动地证明了合理的假设在科学发展中的 重要地位和作用.一个有价值的假设，不管它最终被证明是正确 的，错误的，或是部分正确，部分错误，都将引导人们去探索新的科 学真理，推动科学的向前发展。 从1966年陈景润宣布他证明了命题{1,2}，到今天已经过 去十三个年头了.应该说在这时期中，对Goldbach猜想的研究没 有重大的实质性的进展，·事情往往是如此，对于研究一个问题来 说，迈出开创性的第一步和走上彻底解决它的最后一步都同样是 最因难的.虽然，表面上命题{1,2}和命题{1,1}-一Goldbach 猜想的基本解决一仅“1”之差，但是，看来完成这最后的一步所 要克服的困难可能并不比我们已经走过的道路要来得容易.我们 也没有多少把握可以肯定，沿着现有的方法一定可以最终解决 Goldbach猜想.至今对于猜想(A),我们甚至还不能给出一个假 设性的证明. 只要稍为看一下现有的解析数论的基础理论就不难发现，我 们对于Dirichlet特征，素数分布，函数，L函数理论等方面的知 识仍然了解得非常之少.圆法，在对余区间上的积分D(W)的处 理-一也就是对线性素变数三角和S(x,N)的估计—碰到了巨 大的困难。初等的筛法和密率（也需要筛法）虽然和解祈方法相结 合使它变得十分强有力，但现在的筛法毕竟是十分粗糙的，也许这 种方法有其天然的局限性。我们对素数的算术性质同样也知道得 极其肤浅。或许可以认为，今天对猜想的研究正处于一个相对的 停滞阶段。这就是说，需要我们对原有的方法和结果作出重大的 改进，或提出新的方法才有可能使Goldbach猜想的研究得到新的 推进.因此，把迄今为止研究Goldbach猜想的主要方法和得到的 主要成果作一总结是必要的和有益的。 二百多年来，许许多多的数学家对Goldbach猜想从各个不同 角度作了大量的研究，从方法到结果都是极其丰富的.要作一个 全面的、恰如其份的、有创见和启发性的总结，显然是不容易的.这 ·17·
不是本书的任务，也是我们力所不及的。在这一本小书中，我们打 算讨论一下圆法和筛法(Selberg筛法)，以及与其有关的大筛法、5 函数、L函数理论、线性素变数三角和估计、复变积分法等。我们 要证明的主要结果，是三素数定理和命题{1,2}，同时介绍一下 D(N)上界估计的改进及有关Goldbach数的若干结果.就方法和 结果来说，我们比较侧重于基本方法的介绍.有一些结果（如线性 素变数三角和估计，算术级数中素数分布的均植定理等)可以用不 同的方法加以证明，我们认为这些方法都是重要的，所以都作了介 绍.有时，对所用的方法作更细致，技巧更复杂的讨论后，可以得 到更强的结果，但为了把基本方法介绍清楚，我们宁可使这里所证 明的结果不是最好的（如命题{1,3}，{1,2}中的系数，D(N)上 界估计中的系数等)。我们希望本书中所介绍的方法不仅对研究 Goldbach猜想，而且对整个解析数论都是重要的.有些数学家把 Goldbach猜想看作是一个更广泛的猜想的一部分，本书将丝毫不涉 及这种推广。从目前来看，我们认为猜想的最原始，最简单的形式 也是最重要的.大家知道，关于偶数Goldbach猜想的每一个结果都 可相应地推广到李生素数上去，但本书亦将不讨论这一著名问题. 本书末所列出的文献仅是本书所需要的，当然是不完全的. 在[50]，[38]及[82]等著作中附有有关内容的十分详尽的文献. 初等数论和解析数论的基础灯识是本书所需要的预备知识. 前者主要可参看【51]，[80]，[137]及[43]等书，后者主要可参 看[60]，[251，[92]，[81]及[123]等书.由于篇幅所限，我们对 以下的内容： (1)(s)在临界长条0<σ<1中的阶的估计（见第四章$2 引理5). (2)()及L函数的非零区域（见第十章s1引理11，第十二 章51引理1). (3)Turn方法（见第-十章§2）. (4)素变数三角和∑(*a)的估计（见第六章§5引理15）. 将不给出证明，在文中将指出参考文献 ·18·