第一章特征与Gaut和 设X(n)为模q的特征，m为一整数，我们称 cm)-会(） (1) 为Gauss和.这一章主要是研究Gauss和Gx(m)的性质。由于 这里以及本书的大多数章节都要用到有关特征的知识，所以，我们 将首先比较详细地来叙述特征的基本概念和性质。对于所列出的 性质我们都不加证明.因为这些内容很容易在许多数论书中找到 (例如可参看[24]，I29],[51],[601,[80],[921,[123]等). §1.特 征 由1.Dirichlet所I进的模A的特征（或称特征函数）是数论 中的一个十分重要的基本概念特征的主要作用是在于：利用它我 们可以从一个给定的整数序列中把属于某一个公差为的算术数 列的子序列分离出来.因此它在许多数论问题中，特别是Goldbach 猜想的研究中起着很关键的作用。特征可以月不同的方法来定 义，我们定义特征如下： 定义设g=2的…p的，：为不同的奇素数(1≤i≤)，g 为模：的最小正原根(1≤≤s),以及 i- 1,1=1, 1,1=1, 2,12, 2-，1≥2， c1=中()，(1≤i≤s) 其中(d)为Euler函数，则对于任意给定的-一组整数m,m, m1,·,m,我们称定义在整数集合上的函数 。19· 花 恩
x-g(g））.1- (n,9)>1 (2) 为模4的特征（或特征函数），其中Y,Y,Y,·,Y:为n对模9的 一个指标组. 为了着重指出特征()是属于模g的，我们经常采用记号 X(n)或X(n)modq. 下面我们来列出有关特征的一些基本知识。 1.模4的特征Y()称为模4的主特征，如果当(n,q)一1 时恒有Y()=1,主特征记为x().其它所有的特征都称为非 主特征。只取实值的特征称为实特征，其它的称为复特征 2.模g的特征X()是以9为周期的周期函数，且x(1)=1, Ix(n)l=1,(z,g)=1. 3.特征X(n)是完全可乘函数，即对任意的整数”1,2有 X(h1n2)=X()X(n2). 4.对于一个固定的模9来说，有且仅有中(g)个不同的模9 的特征. 5.我们有 ()- 中(9)， X=0 0, (3) 容之1 Y年XP, 以及当(4，q)=1时有 2(a)z)-{9D,”O, (4) n率a(q), 其中求和号∑表示对模4的所有的特征求和. 6.设Xg,Xg:分别为模9,92的特征，则 X()=Xg,(n)光4，(n) 为模一[9192]的特征.由于模9的特征一定亦是模9的特征， 只要q和4有相同的素因子，且g1g,所以我们以后总规定乘积 ·20·
X,(n)X,(n)为模[g,]的特征，对二个以上的特征相乘时亦一 样，即设光：为模g:的特征(1≤主≤)，则乘积X,光总规 定为是模[91，·，9]的特征。 7.设X(n)为模4的特征，9=992，(g:,92)=1,则一定存 在唯一的一对模，92的特征光，(n),光，()，使 X(n)=X(n)Xa(n); 且X()为主（或实）特征的充要条件是Yg,(n),X,(n)均为主（或 实)特征 8.设X(n)为模4的非主特征，如果存在一个g'<g,使对所 有满足条件 (n1,9)=(229)=1,1三(g) 的”1)2有 X(m)=X(n2) 成立，则称x()为模4的非原特征，反之，则称为模q的原特征 显然，在性质7中，X(n)为原特征的充要条件是x,()及X,(n) 均为模41及9z的原特征， 9.若X(n)为模9的原特征，则对任一d,d<9,d|g,一定 可找到一个整数，使 (n如，9)m1,E1(d),Y(no)≠1 (5) 原特征的概念是十分重要的，下面的性质刻划了原特征在特 征中的地位。 10.对模g的任一非主特征X(π)，一定存在唯一的一个模g*, gq,及唯一的一个模g*的原特征X*(),使当(，g)一1时有 X(n)=x*(n) 成立，我们称X*()为对应于(n)的原特征： 反之，设X*()为模g*的原特征，9为任一给定的正整数， g*|9,则一定存在唯一的一个模9的非主特征Y(),使当(n,g) =1时有 X*()口X() 成立.我们称X()为由原特征*(”)所导出的特征. 。21
对于以上这种非主特征与原特征之间的对应关系，我们记作 X,←→X普*，或X mod q→X*nodg*, (6) 或简写为 X←→X*, (6) 11.设X,←→X”*,再设1是和g*有相同素因子（不计重数） 的9的最大除数，即q1满足条件 p91→plg*,9l9, (7) (显然g*19),我们有 Yg()=x2,(n)z,(n), (8) 其中g2=9/91,(显然(g1,g)=1),及 Xa(n)=xi(n)X,(n)=x4*(n), (9) 因而有 X(n)=x(n)x (n)=x()x9(n). (10) 显然，若X之*，则一定有x←→x* 12.设X(n)为模4的实的原特征，则一定有 9=2p:……p43 (11) 其中1=0,2,3，(1≤：≤)为不同的奇素数 附注当？=1时，仅有一个主特征()≡1，有时为方便起见，我们 把它看作为模1的原特征，这样一来，所有的模4的主特征所对应的原特 征就是模L的主特征，而模1的原特征所导出的模9的特征就是摸9的主特 征，即 8←→州 以后，我们在引用以上这些概念和性质时，一般就不再特别地 加以指出了. §2.Gauss 和 由(1)所定义的Gauss和显然具有下述简单性质： Gx(m:)=Gx(m2),m:=m2(q), (12) Gx(-m)=X(-1)Gx(m), (13) ·22·
Gz(m)=X(-1)Gx(m). (14) 当m*0时， co-会x. (15) 这已在§1性质5中讨论过了，由(13)知我们以后只要讨论m ≥1的情形. 当=1时，我们记 Gx(1)x(X), (16) 即 r0-言（合》 (16) 显然有 Gx(m)=(m)x(X),(m,9).=1, (17) 当X=时，我们记 Gxo(m)=Ca(m), (18) 即 cm)-含(g (18 … 这就是Ramanujan 和其中求和号'表示对模9的简化剩余系 1 求和。我们显然有 Cg(m)=Cg(1)mr(),(m,g）=1 (19) 引理1设X为模9的特征，%，为模9：的特征，且满足 9q192, (91,92)m1,X-XX2, 我们有 Gx(m)X1(q2)X2(q1)Gx (m)Gx(m) (20) 证设h=g:+g2,我们有 c(m)-启：(g) •231