家1.a2124物差不多同时证明了：几乎所有的偶数都可以表 为二个奇素数之和。确切地说，他们证明了，对任给的正数A,我 们有 E()《 (25) log4x (见第十一章§1).华罗庚切的结果比旁人要强，他还证明了对任 意给定的正整数，几乎所有的偶数都可表为1十修，1，P为奇 素数。 1972年，Vaughan证明了：存在正常数c使 E()<x exp(-cV log x). (26) 1973年，Ramachandrat)把结果(25)推广到了小区间上（见 第十一章53). 1975年，Montgomery和Vaughan3】进一步改进了(26)，证 明存在一个正数△>0，使 E(x)《x1-4 (27) (见第十一章52).这是一个很漂亮的结果.在这里他们第一次把 大筛法应用于对圆法中基本区间的讨论。为了证明这一结果几乎 用到了L函数零点分布的全部知识（见第十章）.最近在文献[21灯 中，定出了常数A>0.01. 通常我们把可以表为二个奇素数之和的偶数称为Goldbach 数，而E(x)称为不超过x的Goldbach数的例外集合，以上关于 猜想(A)的缩果是证明了：几乎所有的偶数都是Goldbach数，并 逐步改进了对Goldbach数的例外集合E(x)的阶的估计， 此外，还应该提到的是，I刃首先利用圆法研究了相邻 Goldbach数之差这一有趣的问题，我们将在第十二章中讨论. (二)筛 法 其次我们来谈谈筛法。在提出圆法的同时，为了研究猜想 (A),数论中的一个应用广泛的强有力的初等方法一筛法也开
始发展起来了.要解决猜想(4)实在是太困难了，因此人们设想 能否先来证明每一个充分大的偶数是二个素因子个数不多的乘积 (通常这种数称为殆素数)之和，由此通过逐步减少素因子的个数 的办法来寻求一条解决猜想(A)的道路.·设4，b是二个正整数， 为方便起见，我们以命题{a,b}来表示下述命题：每一个充分大 的偶数是一个不超过“个素数的乘积与一个不超过b个素数的乘 积之和，这样，如果证明了命题{1,1}，也就基本上解决了猜想 (A). 大家知道，筛法本是一种用来寻找素数的十分古老的方法，是 二千多年前的希腊学若Eratosthenes所创造的，称为Eratosthenes筛 法.我们的素数表基本上就是用这种方法编造的。但是，由于这 种原始的筛法没有什么理论上的价值，所以在很长的时期里都没 有进一步的发展。用现在的语言简单地来说，我们可以这样描述 筛法1：以表示一个满足一定条件的由有限多个整数组成的 集合（元素可重复），以四表示一个满足一定条件的无限多个不 同的素数组成的集合，z≥2为任一正数.令 P(s)~II2. (28) 冠 我们以S(以；四，z)表示集合，中所有和P()互素的元素的 个数，即 S(;Φ，x)= 1. (29) (a,P=)=1 这里P()好象是一个“筛子”，凡是和它不互素的数都被“筛掉”， 而和它互素的数将被留下，这正是“筛法”这一名称的含意.这里 的“筛子”是和集合巫及x有关，x愈大“筛子”就愈大，被“筛掉” 的数也就越多，而S(；现，)就是集合d经过“筛子”P(x) “筛选”后所“筛剩”的元素个数。我们把S(以；乎，3)称为筛函 数。粗略地说，筛法就是研究筛函数的性质与作用，它的-一个基本 问题就是要估计筛函数S(,四，)的上界和正的下界（因为 S(;④，)总是非负的). ,10*
现在，我们先来看一下命题{4，b}是怎样和筛函数联系起来 的.设N为一大偶数，取集合 =(N)={(N-),1≤n≤N}, (30) ④为所有素数组成的集合。再设1≥2，取3=N1,如果能证 明 S(d；Φ，N1a)>0, (31) 则显然就证明了命题{4,4}，这里 r2一1,1是正整数， (32) [a], 不是正整数 若当1=2时，(31)成立，则就证明了命题{1,1}.另一方面，若 求得S(;,N)的一个上界，那么我们就相应地得到了个 大偶数表为二个素因子个数不超过4个的数之和的表法个数的上 界. 如果我们取集合 阳=8(N)={N-p,p≤N}, (33) 那未，如果能证明 S(®；@，Na)>0, (34) 则显然就证明了命题{1，a}.同样，若求得S(8;②，N)的一 个上界，那么我们亦就相应地得到了偶数表为一个素数与一个素 因子不超过“个的数之和的表法个数的上界. 由以上的讨论可清楚地看出，命题{4，b}和求筛函数的正的 下界及上界这一问题是紧密相关的.而且必须着重指出的是，这 里要求所取的值相对于N夹说不能太小，一定要取Na那么大 的阶，显然1能取得越小越好.如果一种筛法理论仅能对较小的。 (相对于N),比如说取1ogN大小时才能证明筛函数有正的下界 估计，那么这种筛法理论对于我们的问题来说是无用的。而古老 的Eratosthenes筛法却正是这样一种筛法（见[38]，[50]，[81]）. 直到1920年前后，才由Brunt9)首先对Eratosthenes筛法作了 具有理论价值的改进，并利用他的方法证明了命题{9,9}这一惊 人的结果，从此开辟了利用筛法研究猜想(A)及其他许多数论问 ·119
题的极为广阔且富有成果的新途径.，Brun对数论作出了重大的 贡.人们称他的方法为Bun筛法。Brn筛法有很强的组合数 学的特征，比较复杂，而且应用起来并不方便。不过Bu四的思 想是很有启发性的，可能仍有进一步探讨的必要（见[38]，【50]， [81]). 1950年前后，A.Selbergu,,a利用求二次型极值的方 法对Eratosthenes筛法作了另一重大改进，由他的方法可得到筛 函数的上界估计.这种筛法称为Selberg筛法.把这种方法和 5yra6恒等式（第七章51引理1）结合起来就可得到筛函数的 下界估计.Selberg筛法不仅便于应用，而且迄今为止它总是比 Bun筛法得到更好的结果。目前，对某种筛函数（也是我们的 问题所需要的)所得到的最好的上界及下界估计是由Jurkat-Ri- chert利用Selberg筛法所得到的，本书将仅讨论Selberg筛法， 主要国的是证明Jurkat-Richert的结果（见第七章)，为证明命题 {1,2}作准备. 这里还要指出一点，在前面的讨论中，我们是把命题{4，b}和 ,对一个筛函数的估计直接相联系的，而这样做使我们所得到的结 果是比较弱的.1941年，Khns)首先提出了所谓“加权筛法”， 利用这种方法使我们可以在同样的筛函数上、下界估计的基础上 得到更强的结果。后来许多数学工作者对各种形式的“加权筛法” 进行了深入的研究，从而不断提高了筛法的作用。陈景润1正 是由于提出了他的新的加权筛法才证明了命题{1,2}。现在所有 的最好结果都是利用加权形式的Selberg筛法得到的。 我们将在 第九章结合命题{1，b}来对加权筛法作一简单的说明. 下面我们简述命题{4，b}的发展历史 1920年，Brun)证明了命题{9,9； 1924年，Rademacher证明了命题{7,7}； ]932年，Estermann】证明了命题{6,6； 1937年，Ricci1证明了命题{5,7}，{4,9}，{3,15}以及 t. {2,366: ·12
0. 1938年，6yxTa6u证明了命题{5,5}； 1939年，TapraKoBCK161及1940年，6yxTa621都证明 了命题{4,4}； Khnl6s119!在1941年提出了“加权筛法”，后来证明了命题 {a,b},a+b≤6. 以上的结果都是利用Bun筛法得到的. 1950年，Selbergt1宣布用他的方法可以证明命题{2,3}， 但在长时期内没有发表他的证明.以下的结果都是利用Seiberg 筛法得到的。 1956年，王元44证明了命题{3,4}： 1957年，A.1.BHHorpaoB0证明了命题{3,3}： 1957年，王元41证明了命题{2,3}以及命题{4，b},a+ b≤5， 但是，以上这些结果中，都有一个共同的弱点，就是我们还不 能肯定二个数中至少有一个为素数.为了得到这种结果—即要 证明命题{1，b},如前所述，我们就需要估计筛函数S(绍；亚， )。在第七章中我们将会看到，在估计筛函数的上界和下界时，同 圆法一样，也要计算主要项和估计余项，并证明相对于主项来说余 项是可以忽略的。在证明以上的命题{4，b}时，余项的估计是初 等的比较简单的.但为了证明命题{1，}，在余项估计上碰到了 很大的困难。这个困难（见第七章§）实质上就是要估计下面的 和式 免(，）一(aggs(0;d,） (4) (35) 为了估计这-一和式，就需要利用复杂的解析数论方法.这种类型 的估计通常称为算术级数中素数分布的均值定理（见第八章）. 1948年D,匈牙利数学家A.R6ny】首先在这方面作出了开 创性的极为重要的推进.他利用IHar]所创造的大筛法（见 1)在此之前，Estermann]在GRH下证明了命題{1，b5,6 yxurTa6]亦证明 了一个有趣的结果.后来王元1，在GRH下正明了命题{1,4}及1,3. ·13