第1章插值 1.1基本内容 1.插值定义 设f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数，x0,x1,.,xm是[a,b]上n+1个互不 相同的点，中是给定的某一函数类。若上有函数(x),满足 p(x）=f（x）,i=0,1,.,n 则称9(x)为(x)关于节点01，x,在上的插值函数：称x01,为插值 节点：称(x,f八x)(i=0,1,.,n)为插值型值点，简称型值点或插值点；f(x)称为被插 函数。 2.拉格朗日(Lagrange)插值多项式 给定(，f(x)(i=0,1,.,n;x互不相同)，构造次数至多为n的插值多项式 L(): Lx)=会4e） -含) 称L(x)为f(x)关于x0,21,.,的n次拉格朗日插值多项式，它满足 Ln(x:)=f(x）,i=0,1,",n 可以证明插值多项式Ln(x)存在并惟一。 3,插值多项式的截断误差 设Ln(x)是在[a,b]上关于(x,f(x)(i=0,1,.,n;x:互不相同)的n次插值多 项式，f(x)在[a,b]上有n阶连续导数，了"+D(x)在[a,b]上存在，则插值多项式Lm(x) 的截断误差为 Rn(x）=f(x)-Ln(x）= G- e=(x)∈[a,b] (1.2) 4.差商的定义 (1)设x0≠x1,称 +1
fo]=f)-fro) 是f(.r)关于xo,x1的一阶差商。f(.x)在x的零阶差商为f[ro]=f(xo)。 (2)设点r1,互不相同.f(x)关于点x0,x1,.4的k阶差商为 几n1.,4]=12小-f八04.4 (1.3) 5.差商的性质 mn小-名n (2)若i0,i1.,为0,1，.，k的任一排列，则 几01]=f[x,.,] (1.4) (3)设>(x)存在，则 f01,】=m( (1.5) n1 6.牛顿(Newton)插值多项式 关于型值点(，f(x,)(i=0,l,.,:互不相同)，次数至多为n的牛顿插值多 项式为 N(r)=fro]+fro.(x-xo)+fro.x1,x(-xo)(x-x1) +.+f几.x0,x1,.,xt](x-x0)(x-x)小.(x-xm-i） (1,6) 插值误差为 Rn(x)=f[x,o,.,xn](x-x0)(x-x1).(x-xm） 注：由橘值多项式的旅一性，f(x)关于x01,x,的拉格期日插值多项式及牛领 插值多项式是同一多项式，只是表达形式不同而已。 7.埃尔米特(Hermite)插值 如果在给定的节点处，不但要求插值多项式的函数值与被插函数值相同，同时还要求 在节点处插值多项式的一阶直至指定阶的导数值也与被插函数相应阶的导数值相同，这 类插值称为埃尔米特插值，或称为密切插值(osculating polynomial)。 插值条件： d ,i=0,1,.,n友=0,1，.，m (1.7) 在插值条件(1.7)式中，当m:=0时，即为拉格朗日插值；当m,=1时的埃尔米特插 值，也称二重埃尔米特插值。 设f(.x)具有一阶连续导数，给定n+1个插值点的函数值和导数值(x,f(x,), 广(x,)(1=0,1,n):若有至多为2”+1次的多项式函数H2m+1(x)满足 H2n1(,）=f(x,）,H3n+1(x,）=f(x,),i=0,1,.,n 2
则称Hm(x)为f(x)关于节点x(i=0,1,n)的埃尔米特的插值多项式，或称 H2m+1(.x)为f(x)的二重密切插值；x,(i=0,1,.,n)为二重插值节点，于是前而的拉格 朗日插值和牛顿插值形式可称为单重节点插值，而更一般的埃尔米特插值，不同节点的重 数可以不同。例如，在1.2节例1.15中，a为三重节点，b为一重节点。 下面是插值条件(1.7)式中”=1和m,=1的埃尔米特插值多项式。 给定f(.x0)=,f(.x1)=y,f(xo)=m0,f(x1)=m1,r0≠x1,fx)关于x0,x 的埃尔米特插值多项式为 H3(.x）=(1-2(.x-x0)10(x0)6(x)f(x0）+(1-2(x-x1)l(.x1)1(.x)f(.x) (r-x0)()f (zo)+(x-x1)()f ( w-%+1-2二4- H()=1-20x-x2 ri-xo(ri-xoy lro-i mo+(r-r)zt t-ro]m (1.8) 8.差商型埃尔米特插值 用牛顿插值也能构造埃尔米特插值。例如，给定(x,f(x),∫()(i=0,【, n),定义序列20=x0,1=x0,2=x1,之3=T1,.,2n=无n,21+1=a,即 22=22i+1=,i=0,1,.,n 令 12]=e2)-2- ，i=1,2,.,n 22:-x2i-1 f[2i,2i+1]=f(）, i=0,1,.,n 得到差商型埃尔米特插值公式： he)=i+nlr-o-）.9 9.三次样条函数 给定区间[a,b]上n+1个节点a=x0<x1<.<xm=b和这些点上的函数值 f(x,)=y,(i=0,1,.,n)。若S(x)满足S(.x)=y(i=0,1,.,n):S(x)在每个小区 间[.x,1]上至多是一个三次多项式：S(x)在[a,b]上有连续的二阶导数，则称S(.x) 为f(x)关于剖分a=x0<x1<<xn=b的=次样条插值函数，称x0,x1,.,xn为样 条节点。 10.M关系式 给定插值点(x,f(x)(i=0,1,n:x互不相同)，并设S(x,)=M,(i=0, 1,.,n)利用在节点x:的函数值、一阶导数和二阶导数的连续性得到关于M,的M关 系式： 4M-1+2M+入M+1=d,i=1,2,.,n-1 (1.10) ·3
其中： f（x)= h;=x+1- ha Ai=hi+hi-l 4=1- 641-5-当=6x4西小 di=ha+hit hi h:-1 附加两个边界条件，解出方程组(1.10)，得到样条函数表达式： S）=1-xPM+(x-P户M+1=x%+e-xa 6h: h: -[(1-x)M+(红-z)M] (1.11) x∈[x4,x+1],i=1,2,.,n 11.m关系式 给定插值点(x4,(x,)(i=0,1,.,n;,互不相同)，并设S(x)=m:(i=0,1,. n)。利用在节点x,的函数值、一阶导数和二阶导数的连续性得到关于m:的m关系式： 入：m,-1+2m+hm+1=G,i=1,2,.,n-1 (1.12) 其中： f八x,)= h:=工+1-x hi A=+- =1-入 c=3(af[无，-1，x,]+4f[x,x+1]) 附加两个边界条件，解出方程组(1.12)，由埃尔米特插值多项式(1.8)得到样条函数 表达式： s(x)=1-2r-五]z-x41]2 a-xm m +1-24x-五]2 x-x+1+（x二+11-G%, x∈[x,xi],i=1,2,n (1.13) 1.2例题汇集 例1.1插值函数作为被插函数的通近，可以用作函数值的近似计算。 4
已知27=3,64=4,125=5，构造二次拉格朗日插值多项式。 (1)计算100： (2)估计误差并与实际误差相比较。 解(1)以插值点(27,3)，(64,4)，(125,5)代人插值公式(1.1)，得 L(x)=lo(x)f(xo)+(x)f()+12(x)f(z2) (x-x)(x-x2) = (x-x0)(x-x2 o-0-o+-1-fx） +(-) （2-xo(x2-fx2) 27-6427-12×3+-27x-125) =x-64)(x-125 64-27)64-125×4 (x-27)(x-64) +(125-27125264× .100≈L(100) -980”-×3+40=别80×4 (64-27)(64-125) +10-27)100-64 025-27)125-64×5 =4.68782 (2)由误差公式 R(x)=9(2(z-27z-64(z-125) 记x）=,8(x)=9,(x)在[27,1251上是单调递减函数。 |3(x)川≤f3(27)≈5.64503×105 ÷1R（10)1≤2(100-27100-6410-125)≈0.618131 实际误差：|/100-L(100)川=0.04623 例1.2用插值点(2,4)，(3,9)，(5,25)分别构造拉格朗日插值函数和牛顿插值函 数，并计算L(3.5)和N(3.5)。 解(1)以插值点(2,4)，(3.9)，(5,25)代入插值公式(1.1)，得 (x-x1)(x-x2) （x-x0)(x-x2) (x-x0)(x-x1) -告沿-}×4+告-×9+告-张指-易×25 (2-3)(2-5) 4(）=号x-3x-5)-x-2x-5)+2x-20x-3) ·5