这就证明了F(h)有下界.所以lim F(h)= lim I(x, + h)- f(xa) - f(x) 存在 .hh-→>0+h-→>0+同理可证f'(x）存在注开区间上的凸函数处处连续，但不一定处处可导：闭区间上的凸函数在端点不一定连续后页返回前页
前页 后页 返回 0 f x( ) . − 同理可证 存在 这就证明了F(h)有下界. 所以 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) . h h f x h f x F h f x h + + + → → + − = = 存在 注 开区间上的凸函数处处连续,但不一定处处可 导; 闭区间上的凸函数在端点不一定连续
定理6.13设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：(i)f(x)为上的凸函数；(ii)f'(x)为I 上的增函数 ;(iii)对于I上的任意两点 x，x，有f(x,)≥ f(x)+ f(x)(x, -x)注（ii）中的不等式表示切线恒在凸曲线的下方后页返回前页
前页 后页 返回 定理 6.13 设 f 为区间 I 上的可导函数, 则下述 (i) ( ) ; f x I 为 上的凸函数 1 2 (iii) , , 对于 上的任意两点 有 I x x (ii) ( ) ; f x I 为 上的增函数 2 1 1 2 1 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( ). + − 注 (iii) 中的不等式表示切线恒在凸曲线的下方. 论断互相等价：