第十九讲球函数(一) 将 Helmholtz方程在球坐标系下分离变量,可得到连带 Legendre方程 sin de sin )+-si =0 1 d de sin-0 以及它的特殊情形, Legendre方程 1 d de sinode sin de += 0, 作变换x=cos,y(x)=(),则又可将它们改写成 1-x2)+-1y=0 dx 和 (1-x2) dy +y=0 本章讨论这两个方程的解,它们的主要性质及其在分离变量法中的应用
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ Helmholtz ✠✡☛☞✌✍ ✎✏✑ ✒✓✔✕✖✗✘✙✚ Legendre ✠✡ 1 sin θ d dθ sin θ dΘ dθ + λ − µ sin2 θ Θ = 0 ✛✜✢✣✤✥✦✧✕ Legendre ✠✡ 1 sin θ d dθ sin θ dΘ dθ + λΘ = 0, ★ ✓✩ x = cos θ, y(x) = Θ(θ) ✕✪✫✖✟✢✬✭ ✮✯ d dx 1 − x 2 dy dx + λ − µ 1 − x 2 y = 0 ✰ d dx 1 − x 2 dy dx + λy = 0. ✱✲✳✴✵✶✷✠✡✣✸✕✢✬✣✹✺✻✼✜✽☛✑ ✒✓✔✾ ✿✣❀❁❂
§19.1 Legendre方程的解 319.1 Legendre方程的解 在求出 Legendre方程的解的具体形式之前,根据常微分方程的解析理论(见第六讲) 事先就可以对 Legendre方程的解的解析性作出判断 ★ Legendre方程(这里的z是复变量!) dz +Au=0. 有三个奇点,z=±1和z=∞,并且都是正则奇点,因此,除了这三个点可能是奇点外, Legendre 方程的解在全平面解析 ★2=0点是 Legendre方程的常点,因此,方程的解在以多=0点为圆心的单位圆|<1内解 析,可以展开为 Taylor级数.第六讲中已经求出了两个线性无关的特解,它们是 TIn+ n+1+ ! 2 其中 把这两个特解作解析延拓,可以得到 Legendre方程的解在其他区域内的表达式,但是,无论如何, 在级数解收敛圆的圆周上,确切说,在z=±1这两点,方程的级数解总一定不解析,这从上面写 出的解的具体形式可以看出 对于m2(2),当n足够大时,其系数 2 rin+ +1 之n-(+1/2-n+v2(m+<+1)n+P (u+1)/2√2π (2n+1)2n+1/2e-(2n+√2r 2 =常数
Wu Chong-shi §19.1 Legendre ❃❄❅❆ ❇ 2 ❈ §19.1 Legendre ❉❊❋● ☛❍ ■ Legendre ✠✡✣✸✣❏❑✧▲▼◆✕ ❖P◗❘✑✠✡✣✸❙❚✴ (❯ ❱❲❳) ✕ ❨❩❬✖ ✛❭ Legendre ✠✡✣✸✣✸❙✻★ ■❪❫❂ F Legendre ❴❵ (❛❜❝ z ❞❡❢❣ ❤) d dz 1 − z 2 dw dz + λw = 0. ✐❥❦❧♠✕z = ±1 ♥ z = ∞ ✕ ♦♣q❞rs❧♠❂t✉✕ ✈✇❛ ❥❦♠①②❞ ❧♠③✕Legendre ❴❵❝④⑤⑥⑦⑧④⑨❂ F z = 0 ♠ ❞ Legendre ❴❵❝⑩♠ ✕ t✉✕❴❵❝④⑤❶ z = 0 ♠❷ ❸❹❝❺❻ ❸ |z| < 1 ❼④ ⑨✕① ❶❽❾❷ Taylor ❿➀❂➁➂➃ ➄➅➆➇➈✇➉❦➊➋➌➍❝➎④✕➏➐❞ w1(z) = X∞ n=0 2 2n (2n)! Γ n − ν 2 Γ n + ν + 1 2 Γ − ν 2 Γ ν + 1 2 z 2n , w2(z) = X∞ n=0 2 2n (2n + 1)! Γ n − ν − 1 2 Γ n + 1 + ν 2 Γ − ν − 1 2 Γ 1 + ν 2 z 2n+1 , ➑ ➄ ν(ν + 1) = λ. ➒ ❛ ➉❦➎④➓④⑨➔→✕① ❶➣↔ Legendre ❴❵❝④⑤➑↕➙➛ ❼❝➜➝➞❂➟ ❞✕➌➠➡➢✕ ⑤❿➀④➤➥ ❸ ❝ ❸➦➧✕ ➨➩➫✕⑤ z = ±1 ❛ ➉♠✕❴❵❝❿➀④➭➯➲➳④⑨❂ ❛➵➧ ⑧➸ ➈ ❝④❝➺➻➼➞① ❶➽➈❂ ➾➚ w1(z) ✕➪ n ➶➹➘➴✕➑➷➀ c2n = 2 2n (2n)! Γ n − ν 2 Γ n + ν + 1 2 Γ − ν 2 Γ ν + 1 2 ∼ 2 2n (2n + 1)2n+1/2e−(2n+1)√ 2π n − ν 2 n−(ν+1)/2 e −n+ν/2 √ 2π Γ − ν 2 n + ν + 1 2 n+ν/2 e −n−(ν+1)/2 √ 2π Γ ν + 1 2 =⑩➀ × 1 n
第十九讲球函数 第3页 这说明,除了一个常数倍外,u1(2)在z=±1附近的行为,和 完全相同.因此,1(2)在z=±1对数发散,z=±1是u1(2)的枝点,如果把 Legendre方程在 0的第一解1(z)解析延拓到全平面上,它一定是一个多值函数 对于m2(2),当n足够大时,也有 r(n+1+ C2n+1 (2n+1) (2n+2)2n+3/2e-(2n+2)√2m D-1)n-u/2 e-n+(-/(n+1+ n+(v+1)/2 -1-n/2y2r 常数 所以,除了一个常数倍外,m2(2)在z=±1附近的行为,和 完全相同.因此,m2(2)在z=±1也对数发散.2=士1也是v2(2)的枝点,把 Legendre方程在 z=0的第二解2(z)解析延拓到全平面上,它也是一个多值函数 ★还可以在z=1(或z=-1)点的邻域内求解 Legendre方程 由于z=±1是方程的正则奇点,方程在环域0<|z-11<2内有两个正则解,故可设 m(2)=(2-1)∑cn(z-1) 代入 Legendre方程,就可以得到在z=1点的指标方程 所以,p1=P2=0,这说明 Legendre方程在z=1点邻域内的第一解实际上是在圆域|z-1<2 内解析的,而第二解则一定含有对数项,以z=1(和z=-1)为枝点 按照常微分方程级数解法的标准步骤,可以求出 Legendre方程在z=1点邻域内的第一解 P(2) =(n!)2r(-n+1)(2
Wu Chong-shi ➬➮➱✃ ❐ ❒ ❮ (❰) ❇ 3 ❈ ❛ ➫ Ï✕ ✈✇➯ ❦ ⑩➀Ð③ ✕ w1(z) ⑤ z = ±1 ÑÒ❝Ó❷ ✕♥ ln 1 1 − z 2 = X∞ n=1 1 n z 2n Ô ⑥ÕÖ❂t✉✕ w1(z) ⑤ z = ±1 ➾ ➀×Ø❂ z = ±1 ❞ w1(z) ❝Ù♠❂➡Ú➒ Legendre ❴❵⑤ z = 0 ❝➁ ➯④ w1(z) ④⑨➔→↔⑥⑦⑧➧ ✕➏➯➲❞➯❦ÛÜÝ➀❂ ➾➚ w2(z) ✕➪ n ➶➹➘➴✕Þ✐ c2n+1 = 2 2n (2n + 1)! Γ n − ν − 1 2 Γ n + 1 + ν 2 Γ − ν − 1 2 Γ 1 + ν 2 ∼ 2 2n (2n + 2)2n+3/2e−(2n+2)√ 2π × n − ν − 1 2 n−ν/2 e −n+(ν−1)/2 √ 2π Γ − ν − 1 2 n + 1 + ν 2 n+(ν+1)/2 e −n−1−ν/2 √ 2π Γ 1 + ν 2 =⑩➀ × 1 2n + 1 . ß ❶✕✈✇➯ ❦ ⑩➀Ð③ ✕ w2(z) ⑤ z = ±1 ÑÒ❝Ó❷ ✕♥ ln 1 + z 1 − z = X∞ n=1 2 2n + 1 z 2n+1 Ô ⑥ÕÖ❂t✉✕ w2(z) ⑤ z = ±1 Þ ➾ ➀×Ø❂ z = ±1 Þ❞ w2(z) ❝Ù♠❂➒ Legendre ❴❵⑤ z = 0 ❝➁à④ w2(z) ④⑨➔→↔⑥⑦⑧➧ ✕➏Þ❞➯❦ÛÜÝ➀❂ F á ① ❶⑤ z = 1(â z = −1) ♠ ❝ã➛ ❼➇ ④ Legendre ❴❵❂ ä➚ z = ±1 ❞❴❵❝rs❧♠✕❴❵⑤å➛ 0 < |z − 1| < 2 ❼ ✐➉❦rs④✕æ①ç w(z) = (z − 1)ρ X∞ n=0 cn(z − 1)n , èé Legendre ❴❵✕ê① ❶➣↔⑤ z = 1 ♠ ❝ëì❴❵ ρ(ρ − 1) + ρ = 0. ß ❶✕ ρ1 = ρ2 = 0 ❂ ❛ ➫ Ï Legendre ❴❵⑤ z = 1 ♠ ã ➛ ❼❝➁ ➯④íî➧ ❞⑤ ❸➛ |z − 1| < 2 ❼④⑨❝✕ï➁à④s➯➲ð✐➾➀ñ✕❶ z = 1(♥ z = −1) ❷ Ù ♠❂ òó⑩ôõ❴❵❿➀④ö❝ì÷øù✕① ❶➇➈ Legendre ❴❵⑤ z = 1 ♠ ã ➛ ❼❝➁ ➯④ Pν(z) = X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν − n + 1) z − 1 2 n
§19.1 Legendre方程的解 第4页 称为v次第一类 Legendre函数;第二解可取为 Q(2=2.(2)/h+1 一1-27-2(+1 r(u+n+1) 1+-+…+ z(m!)r(u-n+1) 称为v次第二类 Legendre函数,其中?是 Euler数,ψ(z)是r函数的对数微商 由于函数P(2)(延拓到全平面后,它是 1和z=∞为枝点的多值函数)和Q(2) 的多值性已有约定性的规定,使用时需要特别注意
Wu Chong-shi §19.1 Legendre ❃❄❅❆ ❇ 4 ❈ ú❷ ν û➁ ➯ü Legendre Ý ➀ý➁à④ ①þ❷ Qν(z) = 1 2 Pν(z) ln z + 1 z − 1 − 2γ − 2ψ(ν + 1) + X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν − n + 1) 1 + 1 2 + · · · + 1 n z − 1 2 n , ú❷ ν û➁àü Legendre Ý ➀✕➑ ➄ γ ❞ Euler ➀✕ ψ(z) ❞ Γ Ý ➀❝➾ ➀ôÿ❂ ✁✂✄ Pν(z)(☎✆✘✝✞ ✟✠ ✕✢✡ ✛ z = −1 ✰ z = ∞ ☛☞✌✣ ✍✎✂✄) ✰ Qν(z) ✣ ✍✎✻ ✏✑ ✒✓✻✣✔✓ ✕✕❁✖✗✺✤✘✙✚❂
第十九讲球函数 第5页 819.2 Legendre多项式 球形区域内x2+y2+2<a2的 Laplace方程边值问题 0. us=f(2), 其中∑代表球面x2+y2+2=a2上的变点 考虑到现在所讨论的空间区域的具体形状,自然会采用球坐标系来求解这个定解问题,而且 会把坐标原点放置在球心,如果边界条件具有绕某一个(通过球心的)固定轴旋转不变的对称性, 那么,当然也就应当把这个对称轴的方向取为极轴的方向 这样选择了坐标系后,所要求的未知函数u当然就与φ无关, u=u(r,6) 容易写出定解问题在球坐标系下的具体形式,但是,需要注意: ★ Laplace方程在6=0和=丌方向上不成立,在这些点上充其量只存在u(r,)对θ的单侧导 数 把 Laplace方程改写到球坐标系时,为了保持定解问题的等价性,必须补充上u(r,θ)在θ=0 和θ=丌方向上的有界条件 ★ Laplace方程在坐标原点r=0也不成立,在该点充其量只存在u(,0)对r的单侧导数 把 Laplace方程改写到球坐标系时,为了保持定解问题的等价性,还必须补充上u(r)在坐标 原点r=0处的有界条件, 定解问题在球坐标系下的完整表达形式应该是 10 1 a in 0 0e 有界 =有界 l=0有界 u a=f(e) 分离变量.令 a(r,6)=R(r)() 代入方程和有界条件,就能够分离变量而得到 1 d de(6) sin e sin e de +A(6)=0 和(Rn)-MR()=0 6(0)有界 6(m)有界 其中λ是分离变量时引进的待定参数 Legendre方程,配上有界条件,构成本征值问题,通常作变换x=cos6,y(x)=(0),并且把
Wu Chong-shi ➬➮➱✃ ❐ ❒ ❮ (❰) ❇ 5 ❈ §19.2 Legendre ✛✜✢ ✣ ➼ ➙➛ ❼ x 2 + y 2 + z 2 < a2 ❝ Laplace ❴❵✤ Ü✥✦ ∇2u = 0, u Σ = f(Σ), ➑ ➄ Σ è ➜ ✣ ⑧ x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ➧ ❝❢♠❂ ✧★↔✩⑤ ß✪➠ ❝✫✬➙➛❝➺➻➼✭✕✮ ✯✰✱✲ ✳✴✵✶ ✷➇ ④❛❦ ➲④✥✦✕ï ♣ ✰➒ ✴✵✸✹ ✺✻⑤ ✣❹❂➡Ú✤✼✽✾➺ ✐✿❀➯ ❦ (❁❂✣❹ ❝) ❃➲❄❅❆➳❢❝➾ú➋✕ ❇❈✕➪✯ Þê❉➪ ➒ ❛ ❦➾ú❄❝❴ ❊ þ❷ ❋● ❝❴ ❊❂ ❛❍■❏✇❑ ì ➷▲ ✕ ß▼➇ ❝◆❖Ý ➀ u ➪ ✯ êP φ ➌➍✕ u = u(r, θ). ◗❘➸➈ ➲④✥✦⑤ ✣❑ ì ➷❙ ❝➺➻➼➞❂➟ ❞✕❚ ▼❯❱❲ F Laplace ❴❵⑤ θ = 0 ♥ θ = π ❴ ❊ ➧ ➳❳❨✕⑤❛❩ ♠➧❬➑ ❣❭❪⑤ u(r, θ) ➾ θ ❝❺❫❴ ➀❂ ➒ Laplace ❴❵❵➸↔✣❑ ì ➷ ➴✕❷✇❛❜➲④✥✦❝❝❞➋ ✕❡❢❣❬➧ u(r, θ) ⑤ θ = 0 ♥ θ = π ❴ ❊ ➧ ❝ ✐ ✼✽✾❂ F Laplace ❴❵⑤❑ ì❤ ♠ r = 0 Þ➳❳❨✕⑤✐ ♠❬➑ ❣❭❪⑤ u(r, θ) ➾ r ❝❺❫❴➀❂ ➒ Laplace ❴❵❵➸↔✣❑ ì ➷ ➴✕❷✇❛❜➲④✥✦❝❝❞➋ ✕á❡❢❣❬➧ u(r, θ) ⑤ ❑ ì ❤ ♠ r = 0 ❥❝ ✐ ✼✽✾❂ ➲④✥✦⑤ ✣❑ ì ➷❙ ❝ Ô❦ ➜➝➼➞❉✐❞ 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂u ∂r + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂u ∂θ = 0, u θ=0 ✐ ✼✕ u θ=π ✐ ✼✕ u r=0 ✐ ✼✕ u r=a = f(θ). õ❧❢❣❂♠ u(r, θ) = R(r)Θ(θ), èé❴❵♥✐ ✼✽✾✕ê② ➹õ❧❢❣ï➣↔ 1 sin θ d dθ sin θ dΘ(θ) dθ + λΘ(θ) = 0 Θ(0) ✐ ✼ Θ(π) ✐ ✼ ♥ d dr r 2 dR(r) dr − λR(r) = 0, ➑ ➄ λ ❞õ❧❢❣➴♥♦❝♣➲q➀❂ Legendre ❴❵✕r➧✐✼✽✾✕ s ❳t✉Ü✥✦❂ ❁⑩➓❢✈ x = cos θ, y(x) = Θ(θ) ✕ ♦♣➒