随机微分方程考虑由“白噪声”驱动的随机微分方程(x(t) = f(x(t)) +(t)(t > 0) (2)X(0) = xo这里，我们非正式地认为=W。【定义】如果随机过程X是方程（2）的解（t≥0.我们有X(t) = xo + / f(x(s))ds +ow(t)(3)可以用逐次逼近法求解（3）式。为此，设置X°()三x，归纳定义Xk+1(t):= xo + / f(xk(s)) ds + ow(t)(4)对于所有t≥0.x(t)收敛到极限X(t)且x()是积分恒等式(3）的解
随机微分方程 考虑由“白噪声”驱动的随机微分方程： ൝𝑿̇ 𝑡 = 𝒇 𝑿 𝑡 + 𝜎𝝃(𝑡) 𝑡 > 0 𝑿 0 = 𝒙 2 这里，我们非正式地认为𝝃 = 𝑾̇ 。 【定义】如果随机过程𝑋(·)是方程（2）的解(𝑡 ≥ 0)，我们有 𝑿 𝑡 = 𝑥 + න 𝒇 𝑿 𝑠 𝑑𝑠 ௧ + 𝜎𝑾 𝑡 3 可以用逐次逼近法求解（3）式。为此，设置𝑿 (·) ≡ 𝑥，归纳定义 𝑿 ାଵ 𝑡 : = 𝑥 + න 𝒇 𝑿 𝑠 𝑑𝑠 ௧ + 𝜎𝑾 𝑡 4 对于所有𝑡 ≥ 0，𝑿(𝑡)收敛到极限𝑿 𝑡 且𝑿 ⋅ 是积分恒等式（3）的解
伊藤随机微分方程考虑更一般的随机微分方程X(t) = f(x(t)) + H(X(t))(t)(t > 0)(5)我们将其正式改写为dx(t)= f(x() + H(X(t) W()(t > 0)(6)dtdt于是有dx(t) =f(x(t)dt + H(x(t)dw(t)(t > 0)(7)这是一个伊藤随机微分方程。我们说X()是一个解，具有初始条件X(O）=xo，如果X(t) = Xo +/ f(x(s)ds + / H(x(s)dw(s)(t ≥ 0)式中JH(X(s))dW(s)称为伊藤积分
伊藤随机微分方程 考虑更一般的随机微分方程 𝑿̇ 𝑡 = 𝒇 𝑿 𝑡 + 𝑯 𝑿 𝑡 𝝃 𝑡 𝑡 > 0 5 我们将其正式改写为 𝑑𝑿 𝑡 𝑑𝑡 = 𝒇 𝑿 𝑡 + 𝑯 𝑿 𝑡 𝑑𝑾 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 > 0 6 于是有 𝑑𝑿 𝑡 = 𝒇 𝑿 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑯 𝑿 𝑡 𝑑𝑾 𝑡 𝑡 > 0 7 这是一个伊藤随机微分方程。我们说𝑿 ⋅ 是一个解，具有初始条件𝑿 0 = 𝑥，如果 𝑿 𝑡 = 𝑥 + න 𝒇 𝑿 𝑠 𝑑𝑠 ௧ + න 𝑯 𝑿 𝑠 𝑑𝑾 𝑠 ௧ 𝑡 ≥ 0 式中∫ 𝑯 𝑿 𝑠 𝑑𝑾 𝑠 ௧ 称为伊藤积分