的1000元与未来值的时间相同,因此,在一次支付未来值系数中的 n等于0;对第九年年末存入银行的1000元,n等于1;直到第一年 年末存入银行的1000元,n等于9。即 Fo=1000(1+10%)°+1000(1+10%)4+…+1000(1+10%)=1593.7(元) 从上例年金未来值计算公式的推导中,我们可以得出普通年金的未来 值的一般计算公式,即 Fn=A[(1+r)1]/r=A(F/A,r,n) 式中:(1+r)n-1r称为年金未来值系数,记为(F/A,r,n),可通过年 金系数表查得 2.预付年金未来值 根据普通年金的未来值计算公式,可以很容易地得到预付年金的未来 值计算公式。 A=1000
的 1 000 元与未来值的时间相同，因此，在一次支付未来值系数中的 n 等于 0；对第九年年末存入银行的 1 000 元，n 等于 1；直到第一年 年末存入银行的 1 000 元，n 等于 9。即 F10=1000(1+10%)0 +1000(1+10%)1 +…+1000(1+10%)9 =1593.7 (元) 从上例年金未来值计算公式的推导中，我们可以得出普通年金的未来 值的一般计算公式，即 Fn=A[(1+r)n -1]/r=A(F/A,r,n) 式中:(1+r)n-1r 称为年金未来值系数，记为(F/A，r,n)，可通过 年 金系数表查得。 2. 预付年金未来值 根据普通年金的未来值计算公式，可以很容易地得到预付年金的未来 值计算公式。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F10=？ A=1 000
要计算预付年金在第十年年末的未来值,我们应注意到普通年金的未 来值公式所计算的未来值与年金的最后一次现金流量发生在同一时 间。因此,在预付年金的情况下,由普通年金未来值公式计算的是第 九年年末的未来值。要计算年金在第十年年末的未来值,只需要将普 通年金未来值公式计算的结果乘以(1+10%), 预付年金未来值的一般公式为: Fn=A[(1+)1/r](1+r) (三)年金的现值 普通年金的现值 为了便于理解,我们仍用一个例子来讨论年金的现值计算公式。 例8.2假设某人打算从现在开始,每年年末从银行取出1000元, 连续取10年,银行年利率为10%。计算他现在应该一次性存入银行 多少钱才能正好满足10年内的取款需要。 解由于每年年末的取款金额相同,所以,本例是要计算普通年金的 现值。 用时间轴将年金的现金流量表示如下。取款是现金流出量,所以我们 用向上的线段表示 0123456 78910
要计算预付年金在第十年年末的未来值，我们应注意到普通年金的未 来值公式所计算的未来值与年金的最后一次现金流量发生在同一时 间。因此，在预付年金的情况下，由普通年金未来值公式计算的是第 九年年末的未来值。要计算年金在第十年年末的未来值，只需要将普 通年金未来值公式计算的结果乘以(1+10%), 预付年金未来值的一般公式为： Fn=A[(1+r)n -1/r](1+r) (三) 年金的现值 1. 普通年金的现值 为了便于理解，我们仍用一个例子来讨论年金的现值计算公式。 例 8.2 假设某人打算从现在开始，每年年末从银行取出 1000 元， 连续取 10 年，银行年利率为 10%。计算他现在应该一次性存入银行 多少钱才能正好满足 10 年内的取款需要。 解 由于每年年末的取款金额相同，所以，本例是要计算普通年金的 现值。 用时间轴将年金的现金流量表示如下。取款是现金流出量，所以我们 用向上的线段表示。 A= 1 000 P=? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
我们可得出普通年金现值的一般公式为 P=A[(1+r)-1]/r(1+r)=A(P/A,r,n) 式中:[(+r)1]/r(1+r)称为年金现值系数,记为(P/A,r,n)。该系 数可通过查年金现值系数表获得。 2.预付年金的现值 在上例中,如果假设取款发生在每年年初,则问题就变成了计算预付 年金的现值。 A=1000 0123456 78910 第一个算式的基本思路是,按普通年金计算的现值比年金的第一个现 金流量早一年,因此是第0年年初的现值,而按题意应该计算第0年 年末的现值。所以,只要将按普通年金公式计算的现值再乘以(1+10%) 即可。 第二个算式的思路是,如将第一年年初的取款单独处理,则由于第 年的年末与第二年的年初是在同一时点上,因此,第二年年初至第十 年年初的年金可以看成是从第一年年末开始的持续时期为九年的普
我们可得出普通年金现值的一般公式为 P=A[(1+r)n -1]/r(1+r)n =A(P/A,r,n) 式中：[(1+r)n -1]/r(1+r)n称为年金现值系数，记为(P/A,r,n)。该系 数可通过查年金现值系数表获得。 2. 预付年金的现值 在上例中，如果假设取款发生在每年年初，则问题就变成了计算预付 年金的现值。 A= 1 000 P=? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第一个算式的基本思路是，按普通年金计算的现值比年金的第一个现 金流量早一年，因此是第 0 年年初的现值，而按题意应该计算第 0 年 年末的现值。所以，只要将按普通年金公式计算的现值再乘以(1+10%) 即可。 第二个算式的思路是，如将第一年年初的取款单独处理，则由于第一 年的年末与第二年的年初是在同一时点上，因此，第二年年初至第十 年年初的年金可以看成是从第一年年末开始的持续时期为九年的普
通年金。该年金的现值加上第一年年初的取款额即为预付年金的现 值 第三个算式的思路很简单,即首先计算预付年金在第九年年末的未来 值,再乘以一次支付的现值系数,得到预付年金的现值。 3.永续年金的现值 要计算永续年金的现值,只需要计算普通年金现值公式当n趋于∞的 极限。 4.贷款分期偿还 年金现值公式的一个重要应用是求贷款分期偿还每期应付的金额,如 计算住房抵押贷款的每期付款额。不管是长期还是短期贷款,如果还 贷是按年或按月有周期性地分期等额支付,一般称为分期偿还贷款。 例8.3一公司借款1000万元,欲在3年内每年年末等额偿还,已 知借款年利率为6%,公司每年应支付多少? 解该题是属于已知现值、计算年金的问题。根据年金现值公式,每 年年末应偿还的金额应满足如下关系: 1000=A[(1+6%)3-1/6%(1+6%)3 A=1000[6%(1+6%)3/(1+6%)-1]=374.11(万元) 即该公司以后三年每年年末需要支付374.11万元,以偿还目前的1 000 万 元借款。 三、名义利率与有效利率 前面我们介绍的未来值和现值的计算都是以年为单位计算复利的,但
通年金。该年金的现值加上第一年年初的取款额即为预付年金的现 值。 第三个算式的思路很简单，即首先计算预付年金在第九年年末的未来 值，再乘以一次支付的现值系数，得到预付年金的现值。 3. 永续年金的现值 要计算永续年金的现值，只需要计算普通年金现值公式当 n 趋于∞的 极限。 4. 贷款分期偿还 年金现值公式的一个重要应用是求贷款分期偿还每期应付的金额，如 计算住房抵押贷款的每期付款额。不管是长期还是短期贷款，如果还 贷是按年或按月有周期性地分期等额支付，一般称为分期偿还贷款。 例 8.3 一公司借款 1 000 万元，欲在 3 年内每年年末等额偿还，已 知借款年利率为 6%，公司每年应支付多少？ 解 该题是属于已知现值、计算年金的问题。根据年金现值公式，每 年年末应偿还的金额应满足如下关系： 1000=A[(1+6%)3 -1/6%(1+6%)3 ] A=1000[6%(1+6%)3 /(1+6%)3 -1]=374.11(万元) 即该公司以后三年每年年末需要支付 374.11 万元，以偿还目前的 1 000 万 元借款。 三、 名义利率与有效利率 前面我们介绍的未来值和现值的计算都是以年为单位计算复利的，但