6.2自相关的来源与后果自相关的来源：（第4版139页）1.模型的数学形式不妥。28.YRESID0-YF1243.--YF2202.161.12081-2X0-3.0.20.40.60.81.00.01.2788082848688909294969800022.惯性。大多数经济时间序列都存在自相关3.回归模型中略去了带有自相关的重要解释变量
6.2自相关的来源与后果 自相关的来源： 1．模型的数学形式不妥。 2. 惯性。大多数经济时间序列都存在自相关。 3. 回归模型中略去了带有自相关的重要解释变量。 （第4版139页） 0 4 8 12 16 20 24 28 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Y YF1 YF2 X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 RESID 0
B1F3B1F1B1F26.2自相关的来源与后果3模型存在自相关的后果：2仍具有无偏性。1.回归系数的最小二乘估计量1.52.02.53.0-05000.51.03E(β)=E[(X'X)"X'Y]= E[(X'X)"X'(Xβ+u)J= β+(X'X)"X'E(u) =β以一元线性回归模型，Y,=βo+βX,+ut,(t=1,2,…T)，其中ut=put-1+vt（存在一阶自相关）为例，推导β,的期望。Z(X, -X)(Y, -Y)Z(X, -X)[βi(X, -X)+ut)E(β)= EE(X,-x)2Z(X, -X)2Z(X, -X)ut(X, -X)E(ut)= βi + E= β1= β1E(X,-X)2E(X, -X)?（第4版140页）同理可证，E(β。）=βo。对于多元回归模型也有E(β。）=βo
6.2 自相关的来源与后果 0 1 2 3 4 5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 B1F1 B1F2 B1F3 （第4版140页） 模型存在自相关的后果： 1. 回归系数的最小二乘估计量 j ˆ 仍具有无偏性。 E( ˆ ) = E[ (X 'X ) -1 X 'Y ] = E[ (X 'X ) -1 X ' (X + u) ] = + (X 'X) -1 X 'E(u) = 以一元线性回归模型，Yt = 0 + 1Xt + ut , (t = 1, 2, . T)，其中 ut = ut -1 + vt， （存在一阶自相关）为例，推导 1 ˆ 的期望。 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ] ( ) ( )( ) ) ˆ ( = − − = + − − = + − − − + = − − − = X X X X E u X X X X u E X X X X X X u E X X X X Y Y E E t t t t t t t t t t t t t 同理可证，E( 0 ˆ ) = 0。对于多元回归模型也有 E( 0 ˆ ) = 0
2.Var(β）不再具有最小方差。以一元线性回归模型，Y,=β+β,X,+ut,(t=1,2,.T)，其中u,=put-1+V，（存在一阶自相关）为例，推导β的方差。(Z[x, -X)E(u,)]Var(βi)= E(β - β)2 = EZ(X,-X)1E[(Xi -X)u +(X2 -X)u2 +..+(XT - X)uT ][E(X,-x)2 ]E((Xi -X)u? +(X2 -X)?u? +..+(Xr- X)2urE(x,-x)?+2[(X - X)ui(X2 -X)u2 +(X) - X)u(X3 -X)us +. +(XT-1 - X)(XT - X)uT-iurl)2(x-1)(X, -X)(X, -X)t=l>E(u,us)TY1<s[2x,-X)2[2(x, -X)2?L (=l(=1
2. Var( j ˆ ) 不再具有最小方差。 以一元线性回归模型，Yt = 0 + 1Xt + ut , (t = 1, 2, . T)，其中 ut = ut -1 + vt，（存在一阶自相关） 为例，推导 1 ˆ 的方差。 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ) ˆ ) ( ˆ ( − − = − = X X X X E u Var E E t t t 2 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) . ( ) ( ) 1 T T t E X X u X X u X X u X X − + − + + − − = 2[ ( ) ( ) ( ) ( ) . ( )( ) ]} ( ) ( ) . ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 T T T T T T t X X u X X u X X u X X u X X X X u u E X X u X X u X X u X X + − − + − − + + − − − − − + − + + − − = = = = = − − − + − − t s t s T t t t s t T t t T t t E u u X X X X X X E u X X X X ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 2
2a-x(X,-XXX,-X)(=1Var(B,E(u,us)BuTI<sZ(X,-X)?-)2E(=(X,-XXX-X)Var(u,)+22Cov(ur,us)7[2u-IKsE(X,-X)2(=)(=Var(u,)当u,不存在自相关时，Cov(u,u)=0，s>t，Var(β）当u，具有一阶自回归形式时Z(X,-X)2(=l(X,-XXX,-X)Var(u,)+22Var(β)sVar(u,)S>[2αx-x2]I<s-X)2Z(x, -)f=对于经济序列，上式右侧第二项常常是正的（为什么？），所以β不再具有最小方差。对于多元回归模型，B同样不再具有最小方差
Var( j ˆ ) = = = = − − − + − − t s t s T t t t s t T t t T t t E u u X X X X X X E u X X X X ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 2 = = = − − − + − t s t s T t t t s T t t t Cov u u X X X X X X X X Var u ( , ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 当 ut不存在自相关时，Cov(ut , us ) = 0，s > t，Var( 1 ˆ ) = = − T t t t X X Var u 1 2 ( ) ( ) 。当 ut 具有一阶自回归形式时， Var( 1 ˆ ) = = = − − − + − t s t s T t t t s T t t t Var u X X X X X X X X Var u ( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 , s > t 对于经济序列，上式右侧第二项常常是正的（为什么？），所以 1 ˆ 不再具有最小方差。 对于多元回归模型， 1 ˆ 同样不再具有最小方差