武汉大学：《泛函分析》课程教学资源（教案讲义）第3讲 赋范空间的例

第3讲赋范空间的例 教学目的:通过实际例子认识多种形式的赋范空间,了解根据需 要定义适当范数是现代数学中常用的和基本的方法。 授课要点 1、几个常用的经典空间范数的构造方式。 2、∥与P(≤p<∞)空间的 Holder, Minkowski不等式 在§1中我们已经举出过一些赋范空间的例子.在泛函分析中有一些很早以前就受到人 们重视并且被事实证明是十分重要的赋范空间,例如空间L°,P(≤p<∞),这里将扼要 加以介绍.在实变函数论中,我们还接触到过有界变差函数类,绝对连续函数类,满足 Lipschitz条件的函数类以及有号测度类等等.这些函数类或测度类可以应用适当方式使之成 为赋范空间.此外我们还将介绍一些在其他学科中用到的空间 例1空间L()(1≤p<∞) 设(2,∑,)是正测度空间,(g2)有限或无穷.LP()=L"(9,∑,p)是使得 (|Pd<∞的可测函数全体,并且将ae相等的函数视为同一元,若2=ab,是 2上的 Lebesque测度,则记L=L"(2,E,p) 1°L(4)是线性空间 若f8∈D(),即f(oPd<o,Jgo)Pd<∞,则对于几乎所有的t∈, f()+g()≤(2maxf(o)g())≤24()2+g()) 于是 f()+g(1)|Pdu<∞, 即∫+g∈L"(4).此外,显然a∫∈LP(4),故L(p)是线性空间 2°设p>1,p+q=1,若f∈L"(),g∈L"(),我们证明 (1) 成立。称此式为 Holder不等式,称p,q为一对共轭数. 我们从 Young不等式开始,设a,b>0,则

第 3 讲 赋范空间的例 教学目的：通过实际例子认识多种形式的赋范空间，了解根据需 要定义适当范数是现代数学中常用的和基本的方法。 授课要点： 1、 几个常用的经典空间范数的构造方式。 2、 p L 与 p l (1 ≤ p < ∞)空间的 Holder, Minkowski 不等式。 在§1 中我们已经举出过一些赋范空间的例子．在泛函分析中有一些很早以前就受到人 们重视并且被事实证明是十分重要的赋范空间，例如空间 p L ， p l (1 ≤ p < ∞) ，这里将扼要 加以介绍．在实变函数论中，我们还接触到过有界变差函数类，绝对连续函数类，满足 Lipschitz 条件的函数类以及有号测度类等等．这些函数类或测度类可以应用适当方式使之成 为赋范空间．此外我们还将介绍一些在其他学科中用到的空间． 例 1 空间 ( ) p L µ (1 ≤ p < ∞) ． 设 (Ω,Σ , µ) 是正测度空间， µ(Ω) 有限或无穷． () (,,) p p L L µ = ΩΣ µ 是使得 ∫ < ∞ Ω | ( ) | dµ p f t 的可测函数全体，并且将 a.e.相等的函数视为同一元．若Ω = [a,b] ，µ 是 Ω 上的 Lebesque 测度，则记 (Ω,Σ , µ) p p L = L ． 1° ( ) p L µ 是线性空间． 若 f , g ∈ ( ) p L µ ，即 ∫ < ∞ Ω | ( )| dµ p f t ， ∫ < ∞ Ω | ( ) | dµ p g t ，则对于几乎所有的t ∈Ω ， ( ) ( ) (2max{ ( ), ( )}) 2 ( ( ) ( ) ) p p p p p f t + g t ≤ f t g t ≤ f t + g t 于是 ∫ + < ∞ Ω | ( ) ( )| dµ p f t g t ， 即 ( ) p f gL + ∈ µ ．此外，显然 ( ) p α f L ∈ µ ，故 ( ) p L µ 是线性空间． 2°设 p > 1， 1 1 1 + = − − p q ，若 ( ) p f L ∈ µ ， ( ) q g L ∈ µ ，我们证明 ( ) ( )q q p p p f t g t f t g t 1 1 | ( ) ( ) | d | ( )| d | ( ) | d ∫ ∫ ∫ ≤ Ω Ω Ω µ µ µ （1） 成立。称此式为 Hölder 不等式，称 p ， q 为一对共轭数． 我们从 Young 不等式开始，设 a,b > 0 ，则

b≤A+B dx+lyi-dy (2)y 现在设 Il f p =volf()I du p>0 Il -l.&(r daF>0 (在‖f。与l至少一个为0的情况下, Holder不等 式的成立是显然的).作函数 (t) l g lg 利用 Young不等式得到 la(0)b(okla(P, lb(P 从而 L[OPdu+ gord Pq‖g p q 换回到函数∫,g,则知(1)成立 3°设p≥1,f,g∈DP(4),则 Minkowski不等式成立 lf+gl圳∫lb+‖g‖ (3) 实际上,当p=1时 15+8=/(+g(ldu solS(ldu+loig(ldu =ll/l,+ll ll P 现设p>1.当∫,8∈L(p)时,f+g∈L"(p),此时|f+g|"∈L"(4).由 Holder 不等式 ∫l‖f+gl

q b p a ab A B x x y y p q b q a p ≤ + = + = + ∫ ∫ − − 0 1 0 1 d d ． （2） 现在设 || || ( | ( )| d ) 0 1 = > ∫ p p p f f t Ω µ ， || || ( ) | ( )| d 0 1 = > ∫ q q q g g t Ω µ ， （在 p || f || 与 g q || || 至少一个为 0 的情况下，Hölder 不等 式的成立是显然的）．作函数 p f f t a t || || ( ) ( ) = ， q g g t b t || || ( ) ( ) = ， 利用 Young 不等式得到 q b t p a t a t b t p q | ( )| | ( )| | ( ) ( )|≤ + ． 从而 ∫ ∫ ∫ ≤ + Ω Ω Ω µ µ | ( )| dµ 1 | ( )| d 1 | ( ) ( )| d p q b t q a t p a t b t ∫ ∫ = + Ω Ω µ dµ || || 1 | ( )| d || || 1 | ( )| q q q p p p g g t f q f t p 1 1 1 = + = p q ． 换回到函数 f ， g ，则知（1）成立． 3°设 p ≥1， , () p fg L ∈ µ ，则 Minkowski 不等式成立 p p g p || f + g || ≤|| f || + || || . （3） 实际上，当 p =1时， ∫ + = + Ω || f g ||1 | f (t) g(t) | dµ ∫ ∫ ≤ + Ω Ω | f (t)| dµ | g(t) | dµ 1 1 =|| f || + || g || ． 现设 p > 1．当 , () p fg L ∈ µ 时， ( ) p f gL + ∈ µ ，此时| | () p q q fg L + ∈ µ ．由 Hölder 不等式 q q p p q p | f | | f + g | d ≤|| f || || | f + g | || ∫Ω µ ， 0 a b a′ x y −1 = p y x 图

g!+g"dsgl,Ⅲf+gl4 所以 J+gPd=』J+gl+grda sJoISIIS+ledu+loll f+gdu JoISII5+gl du+olgll/+gld s‖∫,Ⅲf+gl4+lg‖Ⅲf+g| =ll Sp +Il (1f+gI duF 由此式得出 1/+g (ol+gI du)i$ l /,+ll 4°当p≥1时,以‖∫为范数,L(A)成为线性赋范空间 实际上,‖f2≥0·若fl=0,则f()=0,ae,将ae,相等的函数视为同一元, 即∫=0.显然af2=a川!f成立。再由3°三角不等式成立。所以‖∫是L()上的 范数. 5°当p=2时,定义 (, g)=Lf(g(du,f,gEL 则(,)是L2(A)上的内积,此时(A)成为内积空间 值得注意的是 Minkowski不等式中等号成立的条件,不妨设f,g均不为0元,由于 Young不等式中等号成立当且仅当b=o(a),故 Holder不等式中等号成立当且仅当 g(1)=k|∫()",ae.,其中k>0为常数.在证明 Minkowski不等式时用到函数f与 ∫+g|以及lgl与|∫+g|",故等号成立当且仅当∫+g|"=k1|∫|°,|∫+g1|"=k2|g|, ae.此时必有f()=cg(1),ae.其中c为非负常数 例2空间L(p) 仍设(2,E,)为测度空间,记L()是在上与一个有界函数几乎处处相等的可测函 数全体,称此种函数为本性有界可测函数.若=[a,b],μ为上的 Lebesque测度,则记 L =Lla,b. 1°L"()是线性空间.例如,若∫在Ω\E1上有界,g在Ω\E2上有界 (E1)=以(E2)=0.则f与∫+g分别在g2\E1与\(E1UE2)上有界.以(E1UE2)=0,故

q q p p q p | g | | f + g | d ≤|| g || || | f + g | || ∫Ω µ ， 所以 ∫ ∫ − + = + + Ω Ω | | dµ | | | | dµ p p 1 f g f g f g ∫ ∫ − − ≤ + + + Ω Ω | | | | dµ | | | | dµ p 1 p 1 f f g g f g ∫ ∫ = + + + Ω Ω | | | | dµ | | | | dµ q p q p f f g g f g q q p q p q p p ≤ || f || || | f + g | || + || g || || | f + g | || ( )q p f p g p f g 1 (|| || || || ) | | d ∫ = + + Ω µ 由此式得出 ( ) p p q p || f g || p | f g | d || f || || g || 1 1 + = + ≤ + − ∫Ω µ ． 4°当 p ≥1时，以 p || f || 为范数， ( ) p L µ 成为线性赋范空间． 实际上，|| || ≥ 0 p f ．若|| || = 0 p f ，则 f (t) = 0， a.e.，将 a.e.相等的函数视为同一元， 即 f = 0 ．显然 p p ||αf || =|α | || f || 成立。再由 3°三角不等式成立。所以 p || f || 是 ( ) p L µ 上的 范数． 5°当 p = 2时，定义 ∫ = Ω ( f , g) f (t)g(t)dµ ， 2 f , g ∈ L ． 则(⋅,⋅) 是 2 L ( ) µ 上的内积，此时 2 L ( ) µ 成为内积空间． 值得注意的是 Minkowski 不等式中等号成立的条件．不妨设 f ， g 均不为 0 元，由于 Young 不等式中等号成立当且仅当 b = ϕ(a) ，故 Hölder 不等式中等号成立当且仅当 q p | g(t)|= k | f (t)| ， a.e. ，其中 k > 0 为常数．在证明 Minkowski 不等式时用到函数| f | 与 q p | f + g | 以及| g |与 q p | f + g | ，故等号成立当且仅当 q p q p | f g | k | f | + = 1 ， q p q p | f g | k | g | + = 2 ， a.e.．此时必有 f (t) = cg(t)， a.e. 其中c 为非负常数． 例 2 空间 L ( ) µ ∞ ． 仍设(Ω,Σ , µ)为测度空间，记 L ( ) µ ∞ 是在Ω 上与一个有界函数几乎处处相等的可测函 数全体，称此种函数为本性有界可测函数．若Ω = [a,b] ，µ 为Ω 上的 Lebesque 测度，则记 L L [a,b] ∞ ∞ = ． 1 ° L ( ) µ ∞ 是线性空间．例如，若 f 在 1 Ω \ E 上有界， g 在 2 Ω \ E 上有界， ( ) ( ) 0 µ E1 = µ E2 = ．则αf 与 f + g 分别在 1 Ω \ E 与 \ ( ) Ω E1 ∪ E2 上有界． ( ) 0 µ E1 ∪ E2 = ，故

af,f+g∈L(),L(4)是线性空间 2°对于任意的∫∈L°,定义 lf‖= (4) ‖∫称为∫的本性最大模或本性上确界.有时记 lf‖= ess sulf(D) 我们证明,将Ω上ae相等的函数视为同一元,则L是L()上的范数 实际上对于每个∫∈L(p),存在E0cg2,以(E0)=0使得‖f=sup|f(t)|.换句话 说,‖∫可以在某个与Ω几乎相等的集合上达到.为此,取EnCΩ使山(En)=0 sup voll/l+ 记E=UEn,则一方面以(E0)=0,故由‖∫2的定义 sup f(D)|≥‖f‖ 另一方面 upf(D)≤ sup If(l)|sfl。+ E0与n无关,故 sup If()s‖f‖.于是 ‖f‖= sup If(t) ∈E 现在验证|1是L()上的范数 (1)显然f≥0.若‖f2=0,则彐E0C,以(E0)=0使得在g\E0上,f(m)=0, 即f(1)=0,ae,将ae为0的函数视为0元,则∫=0 (2)显然‖f‖=a!f‖ (3)设f,g∈L“(),E1,E2C2,以(E1)=以(E2)=0并且f,g分别在\E1,\E2 上达到本性最大模,则 ‖f≥+‖g‖=sup|f(1)|+ sup i g()l ≥sup|f()|+ sup g(D) I∈mEUE2 E(EUE: ≥ sup f(n)+g(1)

α ff g L , () µ ∞ + ∈ ， L ( ) µ ∞ 是线性空间． 2°对于任意的 ∞ f ∈ L ，定义 || || inf sup | ( ) | \ ( ) 0 f f t t E E E Ω µ Ω ∈ = ⊂ ∞ = ． （4） ∞ || f || 称为 f 的本性最大模或本性上确界．有时记 || f || esssup | f (t) | t∈Ω ∞ = ． 我们证明，将Ω 上 a.e.相等的函数视为同一元，则 ∞ || ⋅ || 是 L ( ) µ ∞ 上的范数． 实际上对于每个 f L ( ) µ ∞ ∈ ，存在 E0 ⊂ Ω ， ( ) 0 µ E0 = 使得|| || sup | ( ) | 0 \ f f t t∈Ω E ∞ = ．换句话 说， ∞ || f || 可以在某个与Ω 几乎相等的集合上达到．为此，取 En ⊂ Ω 使 ( ) = 0 µ En ， n f t f t E 1 sup | ( )| || || 0 \ ≤ ∞ + ∈Ω ． 记 n n E E ∞ = = 1 0 ∪ ，则一方面 µ(E0 ) = 0 ，故由 ∞ || f || 的定义 ∞ ∈ sup | ( )| ≥ || || 0 \ f t f t Ω E ． 另一方面 n f t f t f En t E t 1 sup | ( )| sup | ( )| || || \ \ 0 ≤ ≤ ∞ + ∈Ω ∈Ω ． E0 与 n 无关，故 ∞ ∈ sup | ( )| ≤ || || 0 \ f t f t Ω E ．于是 || || sup | ( ) | 0 \ f f t t∈Ω E ∞ = ． 现在验证 ∞ || ⋅ || 是 L ( ) µ ∞ 上的范数． （1）显然|| || ≥ 0 ∞ f ．若|| || = 0 ∞ f ，则∃E0 ⊂ Ω ， ( ) 0 µ E0 = 使得在 0 Ω \ E 上，| f (t) |= 0 ， 即 f (t) = 0， a.e.将 a.e.为 0 的函数视为 0 元，则 f = 0 ． （2）显然 ∞ = ∞ ||αf || |α | || f || ． （3）设 fg L , () µ ∞ ∈ ，E1 ,E2 ⊂ Ω ， ( ) ( ) 0 µ E1 = µ E2 = 并且 f ，g 分别在 1 Ω \ E ， 2 Ω \ E 上达到本性最大模，则 || || || || sup | ( )| sup | ( )| 1 2 \ \ f g f t g t t∈Ω E t∈Ω E ∞ + ∞ = + sup | ( )| sup | ( ) | \( ) \( ) 1 2 1 2 f t g t t∈Ω E ∪E t∈Ω E ∪E ≥ + sup | ( ) ( ) | \( ) 1 2 f t g t t E E ≥ + ∈Ω ∪

洲∫+g‖ 3°将ae相等的函数视为同一元,L(4)依范数‖∫‖成为线性赋范空间 4°若f∈L(p),g∈L(),容易验证有 jdsf‖gl (5) 例3空间(1≤p≤∞) 考虑无穷序列空间中的元,P(1≤p<∞)是使∑|xn<∞的元素全体.是使 sup xh<∞的元素全体.定义 lx=∑|xP (1≤p<∞) (6) 则是线性赋范空间 实际上当1<p<∞时,利用 Young不等式(2)可以得出 Holder不等式 xnyn|∑x∑|y門 其中x=(x)1,y=(y,)∈P",并且1+1=1.然后可以证明当1≤p<m时, Minkowski 不等式成立 (8) 总之,对于1sp≤∞,‖2是P上的范数 特别地,当p=2时,若规定 (x,y)=∑xn 则(,)是P2上的内积,P是内积空间 空间PP可以看成LP的特殊情况.取Ω=N(全体正整数),E由N的全体子集构成 对于每个E∈∑,以(E)是E中元素的个数.此时(N,E,)是测度空间,L()=1 思考题 1、证明当A(2)<∞时,若1≤p≤q≤∞,则 L CLCLPCL

≥ + ∞ || f g || ． 3°将 a.e.相等的函数视为同一元， L ( ) µ ∞ 依范数 ∞ || f || 成为线性赋范空间． 4°若 1 f L ∈ ( ) µ ， g L ( ) µ ∞ ∈ ，容易验证有 ∫ ≤ ∞ d || || || || 1 fg f g Ω µ ． （5） 例 3 空间 p l (1≤ p ≤ ∞)． 考虑无穷序列空间中的元， p l (1≤ p < ∞) 是使 ∑ < ∞ ∞ =1 | | n p n x 的元素全体． ∞ l 是使 < ∞ ≥ sup | | 1 n n x 的元素全体．定义  < ∞      = ∑ ∞ = p n p p n x x 1 1 || || | | ，(1≤ p < ∞) || || sup | | n n x = x ∞ . （6） 则 p l 是线性赋范空间． 实际上当1< p < ∞ 时，利用 Young 不等式（2）可以得出 Hölder 不等式 q n q n p n p n n n n x y x y 1 1 1 1 1 | | | | | |             ∑ ≤ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = ， （7） 其中 p n x = (x )∈l ， q n y = ( y )∈l ，并且 1 1 1 + = p q ．然后可以证明当1≤ p < ∞ 时，Minkowski 不等式成立 p n p n p n p n p n p n n x y x y 1 1 1 1 1 1 | | | | | |        +       ≤      ∑ + ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = ， （8） 总之，对于1≤ p ≤ ∞ ， p || ⋅ || 是 p l 上的范数． 特别地，当 p = 2时，若规定 ∑ ∞ = = 1 ( , ) n n n x y x y ， 2 ∀x, y ∈l ， 则(⋅,⋅) 是 2 l 上的内积， 2 l 是内积空间． 空间 p l 可以看成 p L 的特殊情况．取 Ω = N （全体正整数）， Σ 由 N 的全体子集构成， 对于每个 E ∈Σ ， µ(E) 是 E 中元素的个数．此时(N,Σ ,µ) 是测度空间， ( ) p p L l µ = ． 思考题 1、证明当 µ(Ω) < ∞ 时，若1≤ p ≤ q ≤ ∞ ，则 1 L L L L q p ⊂ ⊂ ⊂ ∞ ．