例2.已知y=(k+2)x2是二次函数,且当x>0时,y随x的增大而增大 (1)求k的值 (2)求顶点坐标和对称轴 解(1)由题意,k2+k-4=2 ,解得k=2 k+2>0 (2)二次函数为y=4x2,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴 例3.已知正方形周长为Ccm,面积为Scm2 (1)求S和C之间的函数关系式,并画出图象 (2)根据图象,求出S=1cm2时,正方形的周长; (3)根据图象,求出C取何值时,S≥4cm2 分析此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围:画图象时, 自变量C的取值应在取值范围内 解(1)由题意,得S=C2(C>0) 列表 S S=-C 4 描点、连线,图象如图26.2.2 (2)根据图象得S=1cm2时,正方形的周长是4cm (3)根据图象得,当C≥8cm时,S≥4cm2 回顾与反思 图2622 (1)此图象原点处为空心点 (2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成ⅹ、y. (3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分 当堂课内练习 1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、对称轴和 顶点坐标 (1)y=3x 2.(1)函数y=2x2的开口 ,对称轴是 顶点坐标是 (2)函数y=4 x2的开口 对称轴是 顶点坐标是 3.已知等边三角形的边长为2x,请将此三角形的面积S表示成x的函数,并画出图象的
6 例 2．已知 4 2 ( 2) + − = + k k y k x 是二次函数，且当 x 0 时，y 随 x 的增大而增大． （1）求 k 的值； （2）求顶点坐标和对称轴． 解 （1）由题意，得 + + − = 2 0 4 2 2 k k k ， 解得 k=2． （2）二次函数为 2 y = 4x ，则顶点坐标为（0，0），对称轴为 y 轴． 例 3．已知正方形周长为 Ccm，面积为 S cm2． （1）求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出 S=1 cm2 时，正方形的周长； （3）根据图象，求出 C 取何值时，S≥4 cm2． 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时， 自变量 C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得 ( 0) 16 1 2 S = C C ． 列表： C 2 4 6 8 … 2 16 1 S = C 4 1 1 4 9 4 … 描点、连线，图象如图 26．2．2． （2）根据图象得 S=1 cm2 时，正方形的周长是 4cm． （3）根据图象得，当 C≥8cm 时，S≥4 cm2． 回顾与反思 （1）此图象原点处为空心点． （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母 C、S，不要习惯地写成 x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习] 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和 顶点坐标． （1） 2 y = 3x （2） 2 y = −3x （3） 2 3 1 y = x 2．（1）函数 2 3 2 y = x 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数 2 4 1 y = − x 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 3．已知等边三角形的边长为 2x，请将此三角形的面积 S 表示成 x 的函数，并画出图象的 草图．
本课课外作业 A组 1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象 (1)y=-4x2 (2)y=x2 2.填空: (1)抛物线y=-5x2,当x=时,y有最值,是 (2)当m=时,抛物线y=(m-1)xm开口向下 (3)已知函数y=(k2+k)x-2k是二次函数,它的图象开口 当 时 随ⅹ的增大而增大, 3.已知抛物线y=kx“-0中,当x>0时,y随x的增大而增大 (1)求k的值;(2)作出函数的图象(草图) 4.已知抛物线y=ax2经过点(1,3),求当y=9时,x的值 B组 5.底面是边长为x的正方形,高为0.5m的长方体的体积为ycm3.(1)求y与x之间 的函数关系式;(2)画出函数的图象;(3)根据图象,求出y=8cm3时底面边长x的值; (4)根据图象,求出x取何值时,y≥4.5cm3 6.二次函数y=ax2与直线y=2x-3交于点P(1,b) (1)求a、b的值 (2)写出二次函数的关系式,并指出x取何值时,该函数的y随x的增大而减小 7.一个函数的图象是以原点为顶点,y轴为对称轴的抛物线,且过M(-2,2) (1)求出这个函数的关系式并画出函数图象: (2)写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标,并求出MON的面积 本课学习体会 26.2二次函数的图象与性质(2) 本课知识要点 会画出y=ax2+k这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质 MM及创新思维 同学们还记得一次函数y=2x与y=2x+1的图象的关系吗?
7 [本课课外作业] A 组 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1） 2 y = −4x （2） 2 4 1 y = x 2．填空： （1）抛物线 2 y = −5x ，当 x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当 m= 时，抛物线 m m y m x − = − 2 ( 1) 开口向下． （3）已知函数 2 2 1 2 ( ) − − = + k k y k k x 是二次函数，它的图象开口 ，当 x 时，y 随 x 的增大而增大． 3．已知抛物线 10 2 + − = k k y kx 中，当 x 0 时，y 随 x 的增大而增大． （1）求 k 的值； （2）作出函数的图象（草图）． 4．已知抛物线 2 y = ax 经过点（1，3），求当 y=9 时，x 的值． B 组 5．底面是边长为 x 的正方形，高为 0．5cm 的长方体的体积为 ycm3．（1）求 y 与 x 之间 的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出 y=8 cm3 时底面边长 x 的值； （4）根据图象，求出 x 取何值时，y≥4．5 cm3． 6．二次函数 2 y = ax 与直线 y = 2x − 3 交于点 P（1，b）． （1）求 a、b 的值； （2）写出二次函数的关系式，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小． 7． 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过 M（-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象； （2）写出抛物线上与点 M 关于 y 轴对称的点 N 的坐标，并求出⊿MON 的面积． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（2） [本课知识要点] 会画出 y = ax + k 2 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维] 同学们还记得一次函数 y = 2x 与 y = 2x +1 的图象的关系吗？
你能由此推测二次函数y=x2与y=x2+1的图象之间的关系吗? 那么y=x2与y=x2-2的图象之间又有何关系? 「实践与探索l 例1.在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=2x2+2的图象 3-2|-10 3 2x2 y=2x2+2 2 描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.3所示 图26.2 回顾与反思当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图 象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系? 探索观察这两个函数,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的?又有哪些 不同?你能由此说出函数y=2x2与y=2x2-2的图象之间的关系吗? 例2.在同一直角坐标系中,画出函数y=-x2+1与y=-x2-1的图象,并说明,通过 怎样的平移,可以由抛物线y=-x2+1得到抛物线y=-x2-1 解列表 X -|。2口
8 ，你能由此推测二次函数 2 y = x 与 1 2 y = x + 的图象之间的关系吗？ ，那么 2 y = x 与 2 2 y = x − 的图象之间又有何关系？ ． [实践与探索] 例 1．在同一直角坐标系中，画出函数 2 y = 2x 与 2 2 2 y = x + 的图象． 解 列表． 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图 26．2．3 所示． 回顾与反思 当自变量 x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图 象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些 不同？你能由此说出函数 2 y = 2x 与 2 2 2 y = x − 的图象之间的关系吗？ 例 2．在同一直角坐标系中，画出函数 1 2 y = −x + 与 1 2 y = −x − 的图象，并说明，通过 怎样的平移，可以由抛物线 1 2 y = −x + 得到抛物线 1 2 y = −x − ． 解 列表． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2 y = 2x … 18 8 2 0 2 8 18 … 2 2 2 y = x + … 20 10 4 2 4 10 20 … x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
8-3010|-3-8 y=-x2-1 -10-5-2 5|-10 描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.4所示 y=x2+1 图26.2.4 可以看出,抛物线y=-x2-1是由抛物线y=-x2+1向下平移两个单位得到的 回顾与反思抛物线y=-x2+1和抛物线y=-x2-1分别是由抛物线y=-x2向上、向 下平移一个单位得到的 探索如果要得到抛物线y=-x2+4,应将抛物线y=-x2-1作怎样的平移? 例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与y=x2相同,顶点纵坐标是2,且抛物线经过 点(1,1),求这条抛物线的函数关系式 解由题意可得,所求函数开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,-2), 因此所求函数关系式可看作y=ax2-2(a>0),又抛物线经过点(1,1), 所以,1=a·12-2, 解得a=3 故所求函数关系式为y=3x2-2 回顾与反思y=ax2+k(a、k是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 归纳如下: 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=ax+k a>0
9 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图 26．2．4 所示． 可以看出，抛物线 1 2 y = −x − 是由抛物线 1 2 y = −x + 向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线 1 2 y = −x + 和抛物线 1 2 y = −x − 分别是由抛物线 2 y = −x 向上、向 下平移一个单位得到的． 探索 如果要得到抛物线 4 2 y = −x + ，应将抛物线 1 2 y = −x − 作怎样的平移？ 例 3．一条抛物线的开口方向、对称轴与 2 2 1 y = x 相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过 点（1，1），求这条抛物线的函数关系式． 解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作 2( 0) 2 y = ax − a ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以， 1 1 2 2 = a − ， 解得 a = 3． 故所求函数关系式为 3 2 2 y = x − ． 回顾与反思 y = ax + k 2 （a、k 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 归纳如下： y = ax + k 2 开口方向 对称轴 顶点坐标 a 0 a 0 1 2 y = −x + … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … 1 2 y = −x − … -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 …
当堂课内练习 1.在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象 1 y==x y 2 2 观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你能说 出抛物线y 21+k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗? 2.抛物线y=x2-9的开口 对称轴是 ,顶点坐标是 以看作是由抛物线y=x2向_平移_个单位得到的 3.函数y=-3x2+3,当x 时,函数值y随x的增大而减小 数取得最_值,最_值y= 本课课外作业 组 1.已知函数y=3 y=x2+3,y (1)分别画出它们的图象 (2)说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 (3)试说出函数y=x2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 2.不画图象,说出函数y=-x2+3的开口方向、对称轴和顶点坐标,并说明它是由函 数y=-x2通过怎样的平移得到的 3.若二次函数y=ax2+2的图象经过点(-2,10),求a的值.这个函数有最大还是最 小值?是多少? B组 4.在同一直角坐标系中y=ax2+b与y=ax+b(a≠0,b≠0)的图象的大致位置是
10 [当堂课内练习] 1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 2 2 1 y = x ， 2 2 1 2 y = x + ， 2 2 1 2 y = x − ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说 出抛物线 y = x + k 2 2 1 的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线 9 4 1 2 y = x − 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可 以看作是由抛物线 2 4 1 y = x 向 平移 个单位得到的． 3．函数 3 3 2 y = − x + ，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小．当 x 时，函 数取得最 值，最 值 y= ． [本课课外作业] A 组 1．已知函数 2 3 1 y = x ， 3 3 1 2 y = x + ， 2 3 1 2 y = x − ． （1）分别画出它们的图象； （2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）试说出函数 5 3 1 2 y = x + 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2． 不画图象，说出函数 3 4 1 2 y = − x + 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函 数 2 4 1 y = − x 通过怎样的平移得到的． 3．若二次函数 2 2 y = ax + 的图象经过点（-2，10），求 a 的值．这个函数有最大还是最 小值？是多少？ B 组 4．在同一直角坐标系中 y = ax + b 2 与 y = ax + b(a 0,b 0) 的图象的大致位置是 ( )