7.设A为三阶矩阵,a1,a2,a3为线性无关的三维列向量,且 Aa1=a1+a2+a3,Aa2=2a2+a3,Aa3=2a2+3a3 (1)求矩阵B,使A(a1a2a3)=(a1a2,a3)B; (2)求矩阵A的特征值; (3)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.(2017年北京交通大学 8.设P[3是次数不超过3的多项式全体连同0多项式构成的线性空间,f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3∈ P[]3,现有P[]3的线性变换/ (f(x)=(a0-2a1)+(-30+2a1)x+(2a2-3a3)x2+(-4a2+3a3)x 求的特征值及特征向量,并判定a能否对角化.(2013年北京科技大学) 9.设A是三阶矩阵,r(4)=2,其二重特征值A=A2=6,且属于A1=A2=6的线性无关的特征向量 有a1=(1,1,0),a2=(2,1,1)2,求矩阵A.(2009年北京师范大学) 010.0 001 A 100.0 计算A2,A1,…,An+1,An,并求出A在复数域C中的全部特征值.(2016年北京师范大学) 11.设四阶实矩阵 sss s1ss (1)求A的特征值及所有特征向量 (2)4的可逆的充要条件是什么?当s=-1时,A是否可逆?若A可逆,求A的逆矩阵A- (3)s为何值时,A是正定矩阵?.(2011年大连理工大学) 2.设A和B都是n阶方阵,且r(4)+r(B)<n,其中r(A)表示4的秩,证明:A和B至少有一个公共特征向 量.(2013年大连理工大学)
7. Aèn › , α1, α2, α3èÇ5Ã'nëï˛, Ö Aα1 = α1 + α2 + α3, Aα2 = 2α2 + α3, Aα3 = 2α2 + 3α3. (1)¶› B, ¶A(α1, α2, α3) = (α1, α2, α3)B; (2)¶› AAä; (3)¶å_› P, ¶P −1APèÈ› . (2017cÆœåÆ) 8. P[x]3¥gÍÿáL3ıë™ NΔ0ı뙧Ç5òm, f(x) = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 ∈ P[x]3, ykP[x]3Ç5CÜA : A (f(x)) = (a0 − 2a1) + (−3a0 + 2a1)x + (2a2 − 3a3)x 2 + (−4a2 + 3a3)x 3 ¶A Aä9Aï˛, ø½A UƒÈz. (2013cÆâEåÆ) 9. A¥n › , r(A) = 2, ŸAäλ1 = λ2 = 6, Ö·uλ1 = λ2 = 6Ç5Ã'Aï˛ kα1 = (1, 1, 0)t , α2 = (2, 1, 1)t , ¶› A. (2009cÆìâåÆ) 10. - A = 0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 1 0 0 · · · 0 OéA2 , A3 , · · · , An−1 , An, ø¶—A3EÍçC• ‹Aä. (2016cÆìâåÆ) 11. o ¢› A = 1 s s s s 1 s s s s 1 s s s s 1 (1)¶AAä9§kAï˛; (2)Aå_øá^á¥üo? s = −1û, A¥ƒå_? eAå_, ¶A_› A−1 ; (3)sè¤äû, A¥½› ? . (2011cåÎnÛåÆ) 12. A⁄B—¥n ê , Ör(A) + r(B) < n, Ÿ•r(A) L´Aù, y²: A⁄Bñkòá˙Aï ˛. (2013cåÎnÛåÆ) 6 厦门大学《高等代数》
3.设矩阵 A 5 b 已知A的行列式A=-1,A的伴随矩阵A有一个特征值入,且A属于的一个特征向量是a=(-1,-1,1 试求ab,c和A0的值.(2015年湖南师范大学) 14.在数域P上的2×2矩阵空间P2×2中,B 定义线性变换a如下: (Xx)=XB-BX,X∈P2×2 试求 (1)的特征多项式 (2)a的属于特征值0的特征向量.(2016年湖南师范大学) 15.设是n维线性空间v上的秩为1的线性变换,团=-(其中∈为恒等变换),试求线性变换的最小 多项式.(2009年华东师范大学) 16.求一个3阶实对称矩阵A,满足:特征值为6,3,3,且6对应的特征向量为a1=(1,1,1).(2015年华东师 范大学) 7.举例说明4阶复矩阵即使有相同的特征多项式和极小多项式也不一定相似.(2017年华东师范大学) 18.已知矩阵-2-3a的特征多项式有二重根,求a的值,并讨论是否可对角化.(2019年华东师范 大学) 19.设A=(a1,2…,a)为非零实1xm矩阵,求 (1)r(AA) (2)A'A的特殊值和特征向量.(2010年华南理工大学) 0.用表示元素全为1的n阶矩阵,n≥2,设 f(r) 是有理数域Q上的一元多项式,令A=f() (1)求的全部特征值和全部特征向量 7
13. › A = a −1 c 5 b c 1 − c 0 −a ÆA1™|A| = −1, Aäë› A∗kòáAäλ0, ÖA∗·uλ0òáAï˛¥α = (−1, −1, 1)0 , £¶a, b, c⁄λ0ä. (2015c HìâåÆ) 14. 3ÍçP˛2 × 2› òmP 2×2•, B = 1 2 0 2 ! , ½¬Ç5CÜA Xe: A (X) = XB − BX, ∀X ∈ P 2×2 £¶: (1)A Aıë™; (2)A ·uAä0Aï˛. (2016c HìâåÆ) 15. A ¥nëÇ5òmV ˛ùè1Ç5CÜ, B = A − ε(Ÿ•εèð CÜ), £¶Ç5CÜBÅ ıë™. (2009cu¿ìâåÆ) 16. ¶òá3 ¢È°› A, ˜v: Aäè6, 3, 3, Ö6ÈAAï˛èa1 = (1, 1, 1)T . (2015cu¿ì âåÆ) 17. fi~`²4 E› =¶kÉ”Aıë™⁄4ıë™èÿò½Éq. (2017cu¿ìâåÆ) 18. Æ› 0 1 −1 −2 −3 a 3 3 −4 Aıë™kä, ¶aä, ø?ÿ¥ƒåÈz. (2019cu¿ìâ åÆ) 19. A = (a1, a2, · · · , an)èö"¢1 × n› , ¶: (1)r(A 0 A); (2)A 0 AAœä⁄Aï˛. (2010cuHnÛåÆ) 20. ^JL´É è1n › , n ≥ 2, f(x) = a + bx ¥knÍçQ˛òıë™, -A = f(J), (1)¶J ‹Aä⁄ ‹Aï˛; 7 厦门大学《高等代数》
(2)求A的所有特征子空间 (3)A是否可对角化?如果可对角化,求出Q上一个可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵,并写出这个 对角矩阵.(2011年华南理工大学) A=111 111 求一个正交矩阵T使得T-1AT是对角阵(2013年四川大学) 22.设A是数域F上的特征值全为0的三阶方阵 (1)写出A的所有可能的 Jordan标准型 (2)设F上的多项式f(x)满足f(0)≠0.证明:f(4)可逆,且(f(4)1是A的多项式 (3)设g(x)=m1l-x5-x4+x3+x-3.求行列式de(g(A).(2017年四川大学) 23.设A是复数域上的n维线性空间V上的一个线性变换n≥3,且A在V的某个基下的矩阵为: 000 )06 010.00-12 D 000 000.100 000.010 (1)求A的特征多项式f(A) (2)f()在有理数域上是否可约?说明理由 (3)设W是V上的所有与A可交换的线性变换组成的集合,证明:W是V的子空间并求出它的维数 (4)求A的所有不变子空间的个数.(2019年四川大学) 24.设A是复数域上的n维线性空间V上的一个线性变换n≥3,且A在V的某个基下的矩阵为 000..006 100.006 010.00-12 00 000 000…100 000…010 (1)求A的特征多项式f(A) (2)f()在有理数域上是否可约?说明理由
(2)¶A§kAfòm; (3)A¥ƒåÈz? XJåÈz, ¶—Q˛òáå_› P, ¶P −1APèÈ› , ø—˘á È› . (2011cuHnÛåÆ) 21. A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ¶òá› T¶T −1AT ¥È . (2013coAåÆ) 22. A¥ÍçF˛Aä è0n ê . £1§—A§kåUJordanIO.. £2§F˛ıë™f(x) ˜vf(0) 6= 0 .y²µf(A) å_ßÖ(f(A))−1 ¥Aıë™. £3§g(x) = x 11 − x 5 − x 4 + x 3 + x − 3 .¶1™det(g(A)) . (2017coAåÆ) 23. A ¥EÍç˛nëÇ5òmV˛òáÇ5CÜn ≥ 3 ßÖA 3V,áƒe› èµ D = 0 0 0 · · · 0 0 6 1 0 0 · · · 0 0 6 0 1 0 · · · 0 0 −12 0 0 1 · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 0 0 0 0 0 · · · 0 1 0 . £1§¶AAıë™f(λ) . £2§f(λ) 3knÍç˛¥ƒåº`²nd. £3§W¥V˛§kÜA åÜÇ5CÜ|§8‹ßy²µW¥Vfòmø¶—ßëÍ. £4§¶A §kÿCfòmáÍ. (2019coAåÆ) 24. A ¥EÍç˛nëÇ5òmV˛òáÇ5CÜn ≥ 3 ßÖA 3V,áƒe› èµ D = 0 0 0 · · · 0 0 6 1 0 0 · · · 0 0 6 0 1 0 · · · 0 0 −12 0 0 1 · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 0 0 0 0 0 · · · 0 1 0 . £1§¶AAıë™f(λ) . £2§f(λ) 3knÍç˛¥ƒåº`²nd. 8 厦门大学《高等代数》