浙江大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义，第三版）第二十讲 正态总体参数的假设检验

第二十讲正态总体参数的假设检验 重点:正态总体均值方差的假设检验 由于很多总体都是正态总体,所以正态总体参数的假设检验尤为重要,利用上一节课讲过的 方法和正态总体的均值方差函数的性质,可导出下列检验表。 单正态总体均值方差的假设检验 总体X~N(,),x1,…,xn为样本,x为样本均值,S2为方差。 检已知 检验统|H中等号 参数条件 计量J成立J分布拒绝域 Hs。u>。|U=xN(0,1)|1> 知 U s ma a2未 X t(n-1) 知 u>μ0 u<uo <-ta(n-1) =G|a2≠o8 x2>2或x<石 u未 so3 x2>x2(n-1) 知 ≥6 x2<xa(n-1) 例1某种电子元件的寿命X~N(,02单位:小时,现测得16只元件的寿命为:159,280,101, 212,224,379,179,264,222,362,168,250,149,260,485,170,问是否有理由认为元件 的平均寿命大于225小时?a=0.05 解:Ho:u≤225H1:4>225 检验统计量t 拒绝域t>1n(n-1)

第二十讲 正态总体参数的假设检验 重点：正态总体均值方差的假设检验 由于很多总体都是正态总体，所以正态总体参数的假设检验尤为重要，利用上一节课讲过的 方法和正态总体的均值方差函数的性质，可导出下列检验表。 一、单正态总体均值方差的假设检验 总体 X～N(µ,σ2 )， X X n , , 1  为样本， X 为样本均值， 2 S 为方差。 待 检 参数 已 知 条件 H0 H1 检验统 计量 J H0中等号 成立J分布 拒绝域 μ 2  已 知 μ=μ0 μ  μ0 U= n X  − 0 N(0,1) U  u 2 μ  μ0 μ>μ0 U> u μ  μ0 μ<μ0 U<- u μ 2  未 知 μ=μ0 μ  μ0 t= S n X − 0 t(n-1) ( 1) 2 t  t n − μ  μ0 μ>μ0 t  t (n −1)  μ  μ0 μ<μ0 t  −t (n −1)  σ 2 μ未 知 2 0 2  =  2 0 2    2 0 2 2 ( 1)   n − S = ( 1) 2  n − 2 2 2    或 2 2 1 2    − 2 0 2    2 0 2    ( 1) 2 2    n − 2 0 2    2 0 2    ( 1) 2 1 2    − n − 例 1 某种电子元件的寿命 X～N(µ,σ 2 )单位：小时，现测得 16 只元件的寿命为：159，280，101， 212，224，379，179，264，222，362，168，250，149，260，485，170，问是否有理由认为元件 的平均寿命大于 225 小时？  = 0.05 解：H0：μ≤225 H1：μ＞225 , ( 1) 225  − − = t t n S n X t 检验统计量 拒绝域 

x=241.5s=98.7259t5(15)=1.753 x-225241.5-225 =0.66<1.7531 s/n987259/16 接受H0,所以电子元件的平均寿命不大于225 例2某厂生产的某种型号的电池,长期以来其寿命X~N(,5000),单位:小时,现有一批这种电 池,从它的生产情况看,寿命的波动性可能有所改变,现随机抽取26只电池,测得其样本方差为 S2=9200,根据这组数据能否推断电池的寿命的波动性较以往有所改变?a=0.05 解:Ho:a2=500H1:a2≠500 检验统计量2=50,拒绝域x2>x2减x<x% 5000 25×9200 s2=9200x25(25)=40.646x0.5(25)=13.120x 46>40.646 5000 拒绝H,所以电池寿命的波动性较以往有所改变 例3食堂小王师傅打饭量X~N(μ,σ2),若μ=0.4,σ2≤0.01,则认为合格,现随机抽查4次:0.396, 0.401,0.395,0.402问是否合格?a=0.05 解:(1)原假设H0:u=4备选假设H1:≠4 检验统计量t=X-4 S/V拒绝域小>y(- X=0.3985S=00035t0.025(3)=3.1824 0.3895-4 08571H=08571<31824 00035/4 所以接受H (2)原假设H:2≤0.01和备选假设H1:a2>0.01 检验统计量 (n-1)S2 拒绝域x2>x2(n-1) 3.7815 0.01 x2=(-1S=3×0003 0.003675<3.7815 0.01 0.01 所以接受H因此合格 、双正态总体均值方差的假设检验

x = 241.5 s = 98.7259 t 0.05 (15) =1.7531 0.66 1.7531 98.7259 16 225 241.5 225 =  − = − = s n x t 接受 H0，所以电子元件的平均寿命不大于 225 例 2 某厂生产的某种型号的电池，长期以来其寿命 X～N(µ,5000)，单位：小时，现有一批这种电 池，从它的生产情况看，寿命的波动性可能有所改变，现随机抽取 26 只电池，测得其样本方差为 S 2=9200，根据这组数据能否推断电池的寿命的波动性较以往有所改变？α=0.05 解：H0：σ2=500 H1：σ2≠500 2 2 1 2 2 2 2 2 2 5000 ( 1)        − − 检验统计量 = ， 拒绝域 或 n S 46 40.646 5000 25 9200 9200 (25) 40.646 (25) 13.120 2 2 0.975 2 0.025 2 =   s =  =  =  = 拒绝 H0，所以电池寿命的波动性较以往有所改变 例 3 食堂小王师傅打饭量 X～N(µ,σ2 )，若 µ=0.4,σ2≤0.01，则认为合格，现随机抽查 4 次：0.396， 0.401，0.395，0.402 问是否合格？α=0.05 解：（1）原假设 H0：μ=4 备选假设 H1：μ≠4 , ( 1) 4 2  − − = t t n S n X t 检验统计量 拒绝域  X = 0.3985 S = 0.0035 t 0.025(3) = 3.1824 0.8571, 0.8571 3.1824 0.0035 4 0.3895 4 = − =  − t = t 所以接受 H0 （2）原假设 H0 ：σ2≤0.01 和备选假设 H1：σ2 >0.01 ( 1) 3.7815 0.01 ( 1) 2 0.0 5 2 2 2 2  − = −  =    n  n S 检验统计量 ， 拒绝域 0.003675 3.7815 0.01 3 0.0035 0.01 ( 1) 2 2 2 =   = − = n S  所以接受 H0 因此合格 二、双正态总体均值方差的假设检验

正态总体X~N(,01),Y~N(,02),X1…,Xn为来自总体X的样本,又为样本均值,s2为方 差,H1…为来自总体Y的样本,F为样本均值,s2为方差,X1…,Xn与H1…F独立 n+m-2 待检参己知条 H中等号 原假设备选假设检验统计量 件 成立J分拒绝域 H u=p211≠12 Y-y u>mal2 1,μ2 u:≤μ2μ1>2 N(0,1) U> 已知 u1≥2ux<u2 u=2H1≠12t H>(m+m-2) 未知 > t(n+tm-2)|,>a(m+m-2 u1≥2ux<p2 <+an(n+m-2) a2=a2≠ 或 G,a|=未知 F(n-1, m G≤02 F>Fa(n-lm-1 0? 01 <o F<F-a(m-1m-1) 例4设各届学生概率统计成绩服从正态分布,为比较02届本科学生的概率统计平均成绩是否较01 届有所提高,分别从两届学生试卷中独立随机抽取10份 01届:78727674777876757677 02届:71817779807979777782 问:02届本科学生的概率统计平均成绩是否较01届没有所提高 解:x=7592=34333y=7822=92888 s2=6.361 (1)原假设H:a2-a和备选假设Hl:a≠2 检验统计量F≈S2 拒绝域F>F(99)或F<F(99) Fon5(99)=403,F0g(9)=0248FS23433 0.37 s292888 所以接受H (2)原假设H:u1≥μ2和备选假设H1:u<u2

正态总体 X～N(µ1,σ1 2 )，Y～N(µ2,σ2 2 )， X Xn , , 1  为来自总体 X 的样本， X 为样本均值， 2 1 S 为方 差， Y Ym , , 1  为来自总体 Y 的样本， Y 为样本均值， 2 2 S 为方差， X Xn , , 1  与 Y Ym , , 1  独立。 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 2 1 + − − + − = n m n S m S Sw 待检参 数 已知条 件 原假设 H0 备选假设 H1 检验统计量 J H0中等号 成立 J 分 布 拒绝域 μ1，μ2 2 2 2 1   已知 μ1=μ2 μ1  μ2 n m X Y U 2 2 2  1  + − = N(0,1) U  u 2 μ1  μ2 μ1>μ2 U> u μ1  μ2 μ1<μ2 U<- u μ1，μ2 2 2 2 1 = 未知 μ1=μ2 μ1  μ2 n m S X Y t w 1 1 + − = t(n+m-2) ( 2) 2 t  t n + m − μ1  μ2 μ1>μ2 t  t (n + m − 2)  μ1  μ2 μ1<μ2 t  −t (n + m − 2)  2 2 2 1  , μ1，μ 2未知 2 2 2 1  = 2 2 2 1    2 2 2 1 S S F = F(n-1,m- 1) 2 F  F 或 2 F  F1− 2 2 2 1   2 2 2 1   F  F (n −1,m −1)  2 2 2 1   2 2 2 1   ( 1, 1) F  F1− n− m− 例 4 设各届学生概率统计成绩服从正态分布，为比较 02 届本科学生的概率统计平均成绩是否较 01 届有所提高，分别从两届学生试卷中独立随机抽取 10 份 01 届：78 72 76 74 77 78 76 75 76 77 02 届：71 81 77 79 80 79 79 77 77 82 问：02 届本科学生的概率统计平均成绩是否较 01 届没有所提高 解： 75.9 s 3.4333 y 78.2 s 9.2888 s 6.361 2 w 2 2 2 x = 1 = = = = （1）原假设 H0： 2 2 2 1  = 和备选假设 H1： 2 2 2 1    (9,9) (9,9) 2 1 2 2 2 2 1 = F  F F  F − S S 检验统计量 F 拒绝域 或 0.37 9.2888 3.4333 (9,9) 4.03, (9,9) 0.248 2 2 2 1 0.025 = 0.975 = = = = s s F F F 所以接受 H0 （2）原假设 H0：μ1 μ2和备选假设 H1：μ1<μ2

检验统计量sX-y ,拒绝域1<-n(n+m-2) n m to05(18)=3.1824t= 75.9-78.2 =-2.039 6.361× V1010 所以接受H0

( 2) 1 1  − + − + − = t t n m n m S X Y t w 检验统计量 ， 拒绝域  2.039 `10 1 10 1 6.361 75.9 78.2 0.025 (18) 3.1824 = −  + − t = t = 所以接受 H0