(x)=x)+(xXx-x元)+/5(x-x)+(x-x) =f(x)+"(x) x-x)2+o(x-x0)2) 可知当x≠x充分接近x时,有f()-/(x) (x-x)2>0,与f(x)在x处取到极大 值矛盾,所以∫"(x)≤0。 ∫(x)在x处取到极小值的情况可同样证明。 4.设f(x)=(x-a)o(x),q(x)在x=a连续且q(a)≠0,讨论f(x)在x=a 处的极值情况。 解首先有∫(a)=0。 当n为偶数时(x-a)y≥0,当(a)>0时,f(x)=(x-a)(x)在x=a 附近非负,所以x=a为函数f(x)的极小值点;而当o(a)<0时,函数 f(x)=(x-a)o(x)在x=a附近非正,所以x=a为函数的极大值点。 当n为奇数时(x-a)在x=a附近变号,o(a)≠0,f(x)=(x-a)y(x) 在x=a附近也变号,所以x=a非极值点 5.设f(x)在x=a处有n阶连续导数,且f(a)=f"(a)=…=fn(a)=0, ∫o(a)≠0,讨论∫(x)在x=a处的极值情况 解f(x)=f(a)+ n(x-a,E位于0与x之间。由于f(x)在x=a处有 n阶连续导数,fn(a)≠0,所以当x位于x=a附近,f(2)不变号, 利用上题的结果可知: 当n为偶数时,若f(a)>0,则x=a为函数f(x)的极小值点;若 f(a)<0,则x=a为函数f(x)的极大值点 当n为奇数时,x=a不是函数f(x)的极值点
0 2 2 0 0 0 0 0 "( ) ( ) ( ) '( )( ) ( ) (( ) ) 2 f x f x = + f x f x x − x + x − x + o x − x 0 2 2 0 0 "( ) ( ) ( ) (( ) ) 2 f x = + f x x − x + o x − x0 ， 可知当 0 x ≠ x 充分接近 x0 时，有 0 2 0 ( ) ( ) 0 ( ) f x f x x x − > − ，与 在 处取到极大 值矛盾，所以 f x( ) x0 f ′′(x0 ) ≤ 0。 f x( )在 x0 处取到极小值的情况可同样证明。 ⒋ 设 f x x a x n ( ) = ( − ) ϕ( ),ϕ(x)在 x = a 连续且ϕ( ) a ≠ 0，讨论 f x( )在 x = a 处的极值情况。 解 首先有 f a( ) = 0 。 当 n 为偶数时( ) x a − n ≥ 0，当ϕ( ) a > 0 时， f x x a x n ( ) = ( − ) ϕ( )在 x = a 附近非负，所以 x = a 为函数 f x( )的极小值点；而当ϕ( ) a < 0时，函数 f x( ) = − (x a)nϕ(x)在 x = a 附近非正，所以 x = a 为函数的极大值点。 当 n 为奇数时( )n x − a 在 x = a 附近变号，ϕ( ) a ≠ 0，f x 在 x a x n ( ) = − ( ) ϕ( ) x = a 附近也变号，所以 x = a 非极值点。 ⒌ 设 f x( )在 x = a 处有n阶连续导数，且 ′ = ′′ = = = − f a f a f a n ( ) ( ) ( ) " ( ) 1 0， f a ( ) n ( ) ≠ 0，讨论 f x( )在 x = a 处的极值情况。 解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! n n f f x f a x a n ξ = + − , ξ 位于0 与 x之间。由于 f x( )在 x = a 处有 n阶连续导数， f a ( ) n ( ) ≠ 0，所以当 x 位于 x = a 附近， ( ) ( ) n f ξ 不变号， 利用上题的结果可知： 当 n 为偶数时，若 f a ( ) n ( ) > 0 ，则 x = a 为函数 f x( )的极小值点；若 ( ) ( ) 0 n f a < ，则 x = a 为函数 f x( )的极大值点。 当 n 为奇数时， x = a 不是函数 f x( )的极值点。 141
如何选择参数h>0,使得 在x=±G(o>0为给定的常数)处有拐点? 解yGe 2h2(1-2h2x2) 可知曲线在 处 2h 有拐点,所以取h 即可 7.求y=x在拐点处的切线方程 解y3)=a2375,y23),可树(万引是曲线的拐点,由于 1+x2)3 √3 ,得到在拐点处曲线的切线方程为 13√3 (x千=) √3 即:3√3x-8y-1=0和 8.作出下列函数的图象(渐近线方程可利用上一节习题8的结果) y=√6x2-8x+ (4) 1+ (7y=x+ arc cot x, (8)y=V(x-2)x+1)2; 解(1) 2 (1+x)2
6．如何选择参数h > 0 ，使得 y h e h x = − π 2 2 在 x = ±σ （σ > 0为给定的常数）处有拐点？ 解 2 2 2 2 3 3 2 2 2 (1 2 '( ) , ''( ) h x h x h h x h x y x e y x e π π − − − − − = = 2 ) ，可知曲线在 1 2 x h = ± 处 有拐点，所以取 1 2 h σ = 即可。 7．求 1 2 2 + = x x y 在拐点处的切线方程。 解 2 2 2 2 3 2 2(1 '( ) , ''( ) (1 ) (1 ) x 3x ) y x y x x x − = = + + ，可知 1 1 , 3 4 ⎛ ±⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟是曲线的拐点，由于 1 3 ' 3 8 y ⎛ ⎞ ± = ± ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 ，得到在拐点处曲线的切线方程为 1 3 3 1 ( ) 4 8 3 y x − = ± ∓ ， 即：3 3x − 8y −1 = 0和3 3x + 8y − 5 = 0。 8．作出下列函数的图象（渐近线方程可利用上一节习题 8 的结果）： ⑴ y x x = + 2 1 ; ⑵ y x x = + 2 1 2 ; ⑶ 6 8 3 2 y = x − x + ; ⑷ y x = + ( ) 2 e x 1 ; ⑸ y x x = + − e e 2 ; ⑹ y x x = + − ln 1 1 ; ⑺ y = x + arc cot x ; ⑻ y x = − ( ) 2 1 (x + ) 3 2 ; ⑼ y x x = − + arc cos 1 1 2 2 . 解 ⑴ y x x = + 2 1 ， 2 3 ( 2) 2 ' , '' (1 ) (1 ) x x y y x x + = = + + 。 142