例1设A是m阶矩阵,证明:存在n×s矩阵B≠0,使 得AB=0的充要条件是4=0 证将B按列分块为[B,B2…,B、,则AB=0等价 于 AB= 0 5···9 即B的每一列都是齐次线性方程组AX0的解 若AB=0,B≠0,则AX=0有非零解,故|4=0;反之, 若4=0,取AX0的s个非零解作为B的s个列, 则B≠0,但它使得AB=0 6 2021/2/20
2021/2/20 6 例1 设A是n阶矩阵, 证明: 存在ns矩阵B0, 使 得AB=0的充要条件是|A|=0. 证 将B按列分块为[B1 ,B2 ,...,Bs ], 则AB=0等价 于 ABj =0, j=1,2,...,s, 即B的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解. 若AB=0, B0, 则AX=0有非零解, 故|A|=0; 反之, 若|A|=0, 取AX=0的s个非零解作为B的s个列, 则B0, 但它使得AB=0
定理2若X12是齐次线性方程组AX=0的两个 解,则k1X1+k2(k1,2为任意常数)也是它的解 证因为4(k1X1+k2X2)=k1AX1+k24X k10+k20=0,故k1+k2X2是AX=0的解 定理2的结论显然对于有限多个解也成立,目 若X,X2,x是齐次线性方程组AX=0的个解 则k1+k22+…+k(k1…,k为任意常数)也是 AX=0的解 7 2021/2/20
2021/2/20 7 定理2 若X1 ,X2是齐次线性方程组AX=0的两个 解, 则k1X1+k2X2 (k1 ,k2为任意常数)也是它的解. 证 因为 A(k1X1+k2X2 )=k1AX1+k2AX2 = =k10+k20=0, 故k1X1+k2X2是AX=0的解. 定理2的结论显然对于有限多个解也成立, 即 若X1 ,X2 ,...,Xr是齐次线性方程组AX=0的r个解, 则k1X1+k2X2+...+krXr (k1 ,...,kr为任意常数)也是 AX=0的解
定义1设X1,X2,Xn是4x=0的解向量,如果: (1)X1x12,…线性无关;(2)AX0的任一个解 向量可由X1X2,…线性表示则称X1X2,… 是AX0的一个基础解系 如果找到了AX=0的基础解系X1X2…,X,那末 k1X1+k2X2+…+对任意常数k,42,4作成的 集合,就是AX=0的全部解的解集合 8 2021/2/20
2021/2/20 8 定义1 设X1 ,X2 ,...,Xp是AX=0的解向量, 如果: (1)X1 ,X2 ,...,Xp线性无关; (2) AX=0的任一个解 向量可由X1 ,X2 ,...,Xp线性表示. 则称X1 ,X2 ,...,Xp 是AX=0的一个基础解系. 如果找到了AX=0的基础解系X1 ,X2 ,...,Xp , 那末 k1X1+k2X2+...+kpXp对任意常数k1 ,k2 ,...,kp作成的 集合, 就是AX=0的全部解的解集合
例2求齐次线性方程组AX=0的一般解,其系 数矩阵为 24311 1-213-3 0025-2 解对矩阵A作初等行变换,将其化为行 简化阶梯矩阵 9 2021/2/20
2021/2/20 9 例2 求齐次线性方程组AX=0的一般解, 其系 数矩阵为 1 2 1 1 1 2 4 3 1 1 1 2 1 3 3 0 0 2 5 2 A = - - - - 解 对矩阵A作初等行变换, 将其化为行 简化阶梯矩阵
A 131 1135 0 0 32 ① 11 ① 000 1-45 ③④ —X 000 0002000 00 11-67 00 2021/2/20
2021/2/20 10 2 1 3 1 3 2 4 2 1 2 1 1 1 2 4 3 1 1 1 2 1 3 3 0 0 2 5 2 1 2 1 1 1 ( 2) 0 0 1 1 1 0 0 2 4 2 0 0 2 5 2 1 2 1 1 1 ( 2) 0 0 1 1 1 ( 2) 0 0 0 6 0 0 0 0 7 0 A = - - - - + - - - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + - - + - - - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + -