§18-3动力学普遍方程 n个质点组成的系统,第i个质点各参数为:m2r,2F,FN。若 系统只受理想约束,由达郎贝尔原理和虚位移原理,有 (F1+FM+F)·Sr ∑ (F1-mr1)r1=0 (18-15) 写成解析式,有 ∑(Fx-mx)0x+(Fy-m),6+(F21-m12)①2)=0 18-15a) 上式表明,在理想约束条件下,质点系在任一瞬时所受的主 动力系和虚加的惯性力系在虚位移上所做的功的和等于零。 该式称为动力学普遍方程
11 n个质点组成的系统，第i个质点各参数为： 。若 系统只受理想约束，由达郎贝尔原理和虚位移原理，有 mi i i Fi FNi ,r ,r , , 写成解析式，有 上式表明，在理想约束条件下，质点系在任一瞬时所受的主 动力系和虚加的惯性力系在虚位移上所做的功的和等于零。 该式称为动力学普遍方程。 (( ) ( ) ( ) ) 0 1 − + − + − = = xi i i i yi i i i z i i i i n i F m x x F m y y F m z z §18-3 动力学普遍方程 ( ) ( ) 0 1 I 1 + + = − = = = i i n i Ni i i i n i Fi F F r F mr r （18-15） ——（18-15a）
动力学普遍方程将达朗贝尔原理与虚位移原理结合,可以求解 质点系的动力学问题,特别适合求解非自由质点系的动力学问 题。 例Ⅰ三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动,三棱柱A置于光 滑水平面上,A和B的质量分别为M和m,斜面倾角为a。试求三 棱柱A的加速度 解:研究两三棱柱组 LB B 成的系统。该系统受理想 约束,具有两个自由度。 6x4 A P Q=Ma B +O QB=ma, 2B=ma 12
12 例1 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光 滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为 。试求三 棱柱A的加速度。 解：研究两三棱柱组 成的系统。该系统受理想 约束，具有两个自由度。 r r B e B r B e B B A Q ma Q ma Q Q Q Q Ma = = = + = , 动力学普遍方程将达朗贝尔原理与虚位移原理结合，可以求解 质点系的动力学问题，特别适合求解非自由质点系的动力学问 题
由动力学普遍方程: COA-QB +ORcOSO&A+(Og cosa+Osina-ORSSB=O 系统为二自由度,取互不相关的aA,∞为独立虚位移, 且Q=mg,所以 Ma +ma-ma cosa=0 macosa+mgsina-ma, =0 解得: LB B m sin za a SB 2(M+msin2a P 13
13 由动力学普遍方程： (− − + cos ) +( cos + sin − ) B =0 r B e A B r B e A B Q Q Q x Q Q Q s 系统为二自由度，取互不相关的 为独立虚位移， 且 ，所以 A B x ,s Q=mg cos sin 0 cos 0 + − = + − = r r ma mg ma Ma ma ma 解得： g M m m a 2( sin ) sin2 2 + =
§18-4第一类拉格朗日方程 把约束方程(18-3)代入动力学普遍方程(18-15),并引入符号 ofk afk. a i+j+ k 18-16) 对式(83)取变分20=0(=123,)(1817) 引入拉格朗日乘子λ4(k=1,2,3.,将上式两端乘λ并对求和 ∑4②数)∑2数,6=0 (18-18) i=1k=1 把(18-15)式与(18-18)式相减,得 ∑
14 §18-4 第一类拉格朗日方程 把约束方程（18-3）代入动力学普遍方程(18-15)，并引入符号 i j k r i k i k i k i k z f y f x f f + + = （18-16） 对式（18-3）取变分 0 ( 1,2,3 , ) 1 k s f n i i i k = = = r r （18-17） 引入拉格朗日乘子lk (k=1,2,3,s)，将上式两端乘lk并对k求和 ( ) ( ) 0 1 1 1 1 = = = = = = i i k s k k n i s k i n i i k k f f r r r r l l （18-18） 把（18-15）式与（18-18）式相减，得 ( ) 0 1 1 = − − = = s k i i k k n i i i i f m r r F r l