对于一般位置k,简约区 中对称相关的波矢量数就等于 点群的阶数。但若k在简约区 π/a M 中的某些特殊位置（对称点、 对称轴或对称面)上，即在晶 体点群中，存在某些对称操 -元/a X k 作，使得 B=k或B=k+G,B∈ -π/a 这时，简约区中等价波矢量数就少于点群的阶数。在二 维正方晶格的简约区中，k有以下特殊位置： Γ点：k=(0,0)X点：k=(Ξ，0) M点：k=(沿，) △线k=(k,0)Z线k=(Ξ，k)Σ线k=(k,k)
G D X Z M S kx ky -p/a p/a -p/a 对于一般位置 k ，简约区 中对称相关的波矢量数就等于 点群的阶数。但若 k 在简约区 中的某些特殊位置（对称点、 对称轴或对称面）上，即在晶 体点群中，存在某些对称操 作，使得 bk=k 或 bk=k+Gl 这时，简约区中等价波矢量数就少于点群的阶数。在二 维正方晶格的简约区中，k有以下特殊位置： G = 点：k (0,0) X ( a ,0) p 点：k = M , ( a a ) p p 点：k = D = 点：k (k,0) Z , ( a k ) p 点：k = S = 点：k (k k, ) b a Î 线 线 线
简单立方晶格的简约区中k的特殊位置： T点：k=(0,0,0) X点：k=(妥，0,0) M点：k=(沿，，0) R点：k=(,沿，) (100〉△线k=(k,0,0) Z线k=（,k,0) 110)∑线k=(k,k,0) S线k=(,k,k) R T线k=(径，，k) 11）Λ线k=(k,k,k)
G S M X R Z S D T L 简单立方晶格的简约区中 k 的特殊位置： G = 点：k (0,0,0) X ( a ,0,0) p 点：k = M ( a a, ,0) p p 点：k = R ( aaa , , ) p p p 点：k = D = 点：k (k,0,0) Z ( a ,k,0) p 点：k = S = 点：k (k k, ,0) S ( a , , k k ) p 点：k = T ( a a, ,k ) p p 点：k = L = 点：k (kkk , , ) 线 线 线 线 线 100 线 110 111
三、自由电子的能带 自由电子的能量为 E(k)= 2k2 2m 这里，k为广延波矢，不一定在简约区中，但我们一定可 以找到唯一一个倒格矢G,使得 k=k'-Gr k为简约波矢。 四=E+6)(=k+G 1.一维情况 元 Gn=n2 a k+2j】 k为简约波矢
三、自由电子的能带 自由电子的能量为 ( ) 2 2 (0) 2 k E m ¢ ¢ = h k 这里，k’为广延波矢，不一定在简约区中，但我们一定可 以找到唯一一个倒格矢Gn’ ,使得 n¢ k = - k G ¢ k为简约波矢。 ( ) ( ) ( ) 2 2 (0) (0) (0) 2 E n E E n n n n m ¢ ¢ ¢ = + = = + h k k G k k G 1. 一维情况 ( ) 2 2 (0) 2 2 E n k k n m a æ ö p = + ¢ ç ÷ è ø h k为简约波矢 ' 2 ' G n n a p =
为简单，取k的单位为妥，EOk)的单位为 E(k)=(k+2n') 0≤k≤1 9 第一能带：n=1,n'=0 E0(k)=k2 0-→1 相应波函数：y(x)=e 第二能带：n=2,n'=一1 E(k)=(k-2)2 4→1 相应波函数：y(x)=e-2r 第三能带：n=3,n'=1E()=(k+2)2 4→9 相应波函数： y(x)=e+2
为简单，取 k 的单位为 p a ， En (0)(k)的单位为 2 2 2m a æ ö p ç ÷ è ø h ( ) ( ) (0) 2 2 En k = + k n¢ 0 1 £ £ k 第一能带：n=1，n’=0 ( ) (0) 2 E1 k k = 相应波函数： ( ) (0) 1, ikx k y x e º 第二能带：n=2，n’=－1 ( ) ( ) (0) 2 2 E k k = - 2 相应波函数： ( ) (0) ( 2) 2, i k x k y x e - = 9 4 1 0 k E n (0)(k) 第三能带：n=3，n’=1 ( ) ( ) (0) 2 3 E k k = + 2 相应波函数： ( ) (0) ( 2) y3, + = i k x k x e 0 ®1 4 ®1 4 ® 9 1 2 3
2.二维情况： 例：二维正方晶格的简约区中沿Γ△X(即k)轴作出 EO(k)曲线。 为简单，取k、k,的单位为吾， π/a M EO()的单位为 -π/a E(k)=(k+2m)2+(k,+2n2) -元/a 在Tx轴上，k,=0[100] .E0(A)=(k+2n)'+4n
2. 二维情况： 例：二维正方晶格的简约区中沿GDX（即kx）轴作出 En (0)(k)曲线。 为简单，取kx、ky的单位为 , a p En (0)(k)的单位为 2 2 2m a æ ö p ç ÷ è ø h G D X Z M S kx ky -p/a p/a -p/a ( ) ( ) ( ) 2 2 (0) 1 2 2 2 E n x y k = k + n + + k n 在GX轴上，ky=0 ( ) ( ) 1 2 2 (0) 2 1 2 2 4 E n n x \ D = k + + n n [100]