因此有： ,(F+瓦)=yk[o(F+R〗=eayk(r) =(a) 所以中)的波矢标记应该是： a-'k 中(r)是本征函数之一，所以可以写成： Wna(F) 从而有： Ψnak(F)=Ψk(0T)
因此有： ( ) ( ) [ ( )] ( ) 1 e r r R r R e r nk i k R nk ik R n n nk n n n v v v v v v v v v v y a f y a y a a a × × - = + = + = fn (r)是本征函数之一，所以可以写成： 所以 fn (r) 的波矢标记应该是： k -1 a 1 (r) n k v - a y 从而有： 1 (r) ( r) nk n k v v y y a a - =
从上式可得有k和飞所对应的能量本征值相等， 即有： E(a'k)=E(k) 由于1遍历晶体点群的所有的对称操作，所以有： E(k)=E(ak) 证毕。 这表明，在k空间中Ek具有与晶体点群完全相同 的对称性。这样就可以在晶体能带计算和表述中把第 一布里渊区分成若干个等价的小区域，只取其中一个 就足够了。区域大小为第一布里渊区的1f,为晶体 点群对称操作元素数。如三维立方晶体f=48。 原胞是晶体点阵的最小重复单位，因此点阵具有的点群 对称性全部反映在原胞中是能够理解的
从上式可得有 a-1k 和 k 所对应的能量本征值相等， 即有： ( ) ( ) 1 E k E k n n v v = - a E (k ) E ( k ) n n v v = a 由于a-1遍历晶体点群的所有的对称操作，所以有： 证毕。 这表明，在 k 空间中 En (k) 具有与晶体点群完全相同 的对称性。这样就可以在晶体能带计算和表述中把第 一布里渊区分成若干个等价的小区域，只取其中一个 就足够了。区域大小为第一布里渊区的 1/f，f 为晶体 点群对称操作元素数。如三维立方晶体 f = 48。 原胞是晶体点阵的最小重复单位，因此点阵具有的点群 对称性全部反映在原胞中是能够理解的
3.E,(k)=E(-k) 反演对称性 在晶体中电子运动的哈密顿算符 H=- r+in 是实算符，H=H。 如果以(r)是方程的解，那么wn(r)也是方程的解， 且这两个解具有相同的能量本征值。即有 Hwn(F)=E(k)w nk(F Hwk(F)=E(knk()
在晶体中电子运动的哈密顿算符 ( ) 2 2 2 H U m = - Ñ + h r 是实算符，H* ＝H。 如果 ynk (r) 是方程的解，那么 y * nk (r) 也是方程的解， 且这两个解具有相同的能量本征值。即有 3. E (k ) E ( k ) n n v v = - ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ H r E k r H r E k r nk n nk nk n nk v v v v v v * * = = y y y y 反演对称性
同时按照Bloch定理有： y(F+Rn)=e-Ry4(下) Ψn-k(下+厄n)=eRyn-k(F) 因此，以(r)和ynk()能量是相同的。 E(k)=E(-k) 这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否 有对称中心，在k空间中E,()总是有反演对称的。这 实际上是时间反演对称性的结果。 下面通过对具体对象的讨论来理解和应用能带的对称性
同时按照Bloch定理有： ( ) ( ) ( ) ( ) r R e r r R e r n k ik R n k n nk ik R nk n n n v v v v v v v v v v - - × - * - × * + = + = y y y y 因此，ynk (r) 和yn-k (r) 能量是相同的。 E (k ) E ( k ) n n v v = - 这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否 有对称中心，在 k 空间中 En (k) 总是有反演对称的。这 实际上是时间反演对称性的结果。 下面通过对具体对象的讨论来理解和应用能带的对称性
二、E图示 以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是C4v(4mm), 所以，对于一般位置P,在简约区中共有8个点与P点对称 相关。在这些点，电子都有相同的 能量E(k)。因此，我们只需研究 清楚简约区中1/8空间中电子的能 量状态，就可以知道整个k空间中 的能量状态了。我们将这部分体积 称为简约区的不可约体积。依此类 推，对于立方晶系的O,(m3m)点 群，只需研究(1/48)2即可。减少 在确定、计算能带时所要做的工作 是对称性研究的意义之一
P P’’ P’ kx ky 以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是C4V(4mm), 所以，对于一般位置 P，在简约区中共有 8个点与 P点对称 相关。在这些点，电子都有相同的 能量 En (k)。因此，我们只需研究 清楚简约区中 1/8 空间中电子的能 量状态，就可以知道整个 k 空间中 的能量状态了。我们将这部分体积 称为简约区的不可约体积。依此类 推，对于立方晶系的 Oh (m3m) 点 群，只需研究 (1/48)Wb即可。减少 在确定、计算能带时所要做的工作 是对称性研究的意义之一。 二、 En (k)图示