《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第二十一章 重积分 第九节 重积分变量变换公式的证明

微分中值定理,存在点(5i,5i2)e△,使得a9;(5i1,Si2)(x) -x)) +X, =x, +一79ax'a(2)g(%%-) (1=12)1其中 别位于 x,与x,(i=1,2;j=1,2) 之间下面考虑从xx,平面到xx,平面的线性映照T*：若 Q'(xi,x,) e D',则 T*(Q)=Q"(x%,x), 其中后页返回前页

前页 后页 返回 微分中值定理, 存在点 ( , ) ,   i i 1 2    使得 1 2 1 1 1 ( , )( ) i i i i i x x x x x     = + − +       1 2 2 2 2 ( , )( ) ( 1,2), (2) i i i x x i x         − =   其中 位于 与 之间. ij  j x ( 1,2; 1,2) j x i j  = = 下面考虑从 x x1 2   平面到 x x1 2 平面的线性映照 T :    Q x x D   ( , ) 1 2  ,则 1 2 T Q Q x x ( ) ( , ),  若     = 其中

ax=+最9(可,)对-对)+a(3)P;(,x)(x -x) (i = 1,2)ax.由解析几何知道,在映照T*下,正方形么被映照成平行四边形PA"C"A",其中 A",C",A’ 分别为A',C',A'在映照T*下的象(图21-45).记这平行四边形为△它的边界为"由(3)式知 △"的两条边 PA'(i=1,2)的长分别为I PA'I= ha,后页返回前页

前页 后页 返回   = + − +       1 2 1 1 1 ( , )( ) i i i x x x x x x x  1 2 2 2 2 ( , )( ) ( 1,2). (3) i x x x x i x       − =   由解析几何知道, 在映照 T  下,正方形  被映照成平 行四边形 PA C A 1 2    , 其中 A C A 1 2  , ,   分别为    1 2 A C A , , 由(3)式知  的两条边 PA i i ( 1,2) = 的长分别为 | | , PA ha i i  = 的边界为 . 在映照 T  下的象(图21-45).记这平行四边形为  , 它

其中10a+(i=1,2),9(x.P2Coa; =ar下面来估计点Q=T(Q)与点Q"=T*(Q)之间的距离. 由 (2) 及 (3) 式有a2p(x,)(x-对)+P.x,-X, =12axax;0aP,(x,x) (x, -x)(i=1,2)Dax,ax前页后页返回

前页 后页 返回 其中 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 ( , ) ( , ) ( 1,2). i i i a x x x x i x x           = + =                       下面来估计点 Q T Q = ( ) 与点 Q T Q( ) 之间的距    = 离. 由 (2) 及 (3) 式有 1 2 1 2 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( ) i i i i i i x x x x x x x x          − = − − +               1 2 1 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( ) ( 1,2). i i i i x x x x i x x               − − =        