f(x)=lim f(x+△x)-f( lim ( t Ar) △x→>0 △x △x→>0 △ 1+ x = lim x x 注意到A列,4r →>0,此时有 △ x x 故 1+ f(x)=lim x x x=p Ax→>0 下
0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) l i m l i m 1 1 l i m , x x x f x x f x x x x f x x x x x x x µ µ µ µ ∆ → ∆ → ∆ → + ∆ − + ∆ − ′ = = ∆ ∆ ⎛ ⎞ ∆ ⎜ ⎟ + − ⎝ ⎠ = ∆ 注意到 Dx → 0时， 0，此时有 x x ∆ → 1 1 x x x x µ µ ⎛ ⎞ ∆ ∆ + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∼ 故： 1 0 0 1 1 ( ) l i m l i m . x x x x x x f x x x x x x µ µ µ µ µ µ − ∆ → ∆ → ⎛ ⎞ ∆ ∆ ⎜ ⎟ + − ⎝ ⎠ ′ = = = ∆ ∆
例3求cOSx的导数 2x+△x.△ 解∵cos(x+△x)-c0sx=-2sin sIn f(x)=lim CoS(x+△x)-coSx Ax→>0 △x 2x+△x.△ sIn sIn Im sinx COSX)=-sinx 下
例3 求 cos x 的导数． 2 cos( ) cos 2sin sin , 2 2 x x x x x x + ∆ ∆ 解 ∵ + ∆ − = − 0 0 cos( ) cos ( ) lim 2 2sin sin 2 2 lim sin . x x x x x f x x x x x x x ∆ → ∆ → + ∆ − ′ = ∆ + ∆ ∆ − = = − ∆ ∴ ( ) cos x x sin . ′ = − 即
例4求指数函数f(x)=d(a>0,a≠1)的导数 解 f(x)=lim f(x+△x)-f(x) =im Ax→>0 △x Ax→>0 AxIn a =a im =a lim =a Ina Ax→>0△ 即 a na 特殊地,当a=e时,有 e=e 下
例4 求指数函数 f x( ) = ax (a > ≠ 0,a 1) 的导数． 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim 1 ln lim lim ln , x x x x x x x x x x x f x x f x a a f x x x a x a a a a a x x +∆ ∆ → ∆ → ∆ ∆ → ∆ → + ∆ − − ′ = = ∆ ∆ − ∆ = = = ∆ ∆ ( ) ln . x x a a a ′ = 解 即 特殊地，当a=e时，有 ( ) . x x e e ′ =