1函数在一点的导数与导函数 定义设函数=fx)在点x0的某个领域内有定义,当自 变量在x处取得增量Δx(点x+△x)时,相应地,函数y取 得增量ay=x)-fxo),若y与Δx之比当△x->0时的极 限存在,则称函数y=x)在处可导,并称这个极限为函 数=x)在点处的导数,记为f(x),即 f(o)=lim=lim f(x0+△x)-f(x) Ax→>0△x 0 △x 下
1.函数在一点的导数与导函数 定义 设函数y=f(x)在点x0的某个领域内有定义，当自 变量在x处取得增量Dx(点x0+ Dx)时，相应地，函数y取 得增量Dy= f(x)−f(x0)， 若Dy与Dx之比当Dx→0时的极 限存在，则称函数y=f(x)在处可导，并称这个极限为函 数y=f(x)在点处的导数，记为 f x ′( )0 ，即 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim . x x y f x x f x f x ∆ → x x ∆ → ∆ + ∆ − ′ = = ∆ ∆ ⑴
注1函数=x)在点x0处的导数的记号: dyl df(x 2如果()式中的极限不存在,则称函数yx)在点x处不 可导 3若平面曲线C所对应的函数方程为y=f(x),点Maxm,yo) 在曲线C上,且函数=x)在x处可导,则曲线C在点M 处的切线切线斜率为k=f(x),切线方程为 y-y0=∫"(x0)(x-x0) 下
注 1.函数y=f(x)在点x0处的导数的记号： 0 0 0 ( ) , , . x x x x x x dy df x y dx dx = = = ′ 2.如果⑴式中的极限不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不 可导； 3.若平面曲线C所对应的函数方程为y= f (x), 点M0(x0, y0) 在曲线C上，且函数y=f(x)在x0处可导，则曲线C在点M0 处的切线切线斜率为 k f = ′( ) x0 ，切线方程为 0 0 0 y y − = − f ′( ) x ( x x ). ⑵
4如果函数=fx)在区间内的每一点可导,则称函数 yfx)在区间内可导;区间内的可导函数的全体所构 成的集合记为D(① 5如果函数=x)在区间内可导,即y=f(x)∈D(,由此定 义了区间I上的一个新的函数,称其为函数y=(x)在区间 I内的导函数,仍记为y 下
4.如果函数y=f(x)在区间I内的每一点可导，则称函数 y=f(x)在区间I内可导；区间I内的可导函数的全体所构 成的集合记为D(I)． 5.如果函数y=f(x)在区间I内可导，即y=f(x)∈D(I),由此定 义了区间I上的一个新的函数，称其为函数y=f(x)在区间 I内的导函数，仍记为 y′．
2求导举例 例1求函数∫(x)=CC为常数)的导数 解 f'(x)=lim Ay lim f(x+△x)-f(x) Ax→>0△x△x→>0 = lim △x->0 下
2.求导举例 例1 求函数 f (x)=C(C为常数)的导数． 解 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim lim 0. x x x y f x x f x f x x x C C x ∆ → ∆ → ∆ → ∆ + ∆ − ′ = = ∆ ∆ − = = ∆
例2求幂函数f(x)=x“的导数 解()当μ为正整数时,由二项展开式,得 f(r)=lim f(x+Ar)-f(x) (x+Ar) Ax→>0 △ △x+ △x)+…+(△ lim x 当μ为负正整数时,公式仍然成立; 当μ为任意实数时, 下
例2 求幂函数 f x( ) = xµ 的导数． 解 ⑴当µ为正整数时，由二项展开式，得 ( ) ( ) 0 0 2 1 1 2 2 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim . x x n n x f x x f x x x x f x x x C x x C x x x x x µ µ µ µ µ µ µ ∆ → ∆ → − − − ∆ → + ∆ − + ∆ − ′ = = ∆ ∆ ∆ + ∆ + + ∆ = = ∆ " 当µ为负正整数时，公式仍然成立； 当µ为任意实数时