2、三维自由电子气体（a）单电子本征态和本征能量一个质量为m的自由电子囚禁在边长为L，体积V=L3的势阱中，箱内势能为0，箱外为80，单电子状态用波函数山(）描述；单电子的运动服从三维薛定方程：根据自由电子近似，取V()=02(r) = E(r)[-2 + V()() = E(r)2m2ma202a22为拉普拉斯算符。+中0x20y20z2h2k2h2令E(k +k +k2)2m2m令山() = P1 (x)P2(y)3(z)分离变量
2、三维自由电子气体 单电子的运动服从三维薛定谔方程： (a) 单电子本征态和本征能量 一个质量为m的自由电子囚禁在边长为L，体积V=L3的势阱中，箱内势能为 0，箱外为∞，单电子状态用波函数 描述； 根据自由电子近似，取 为拉普拉斯算符。 分离变量
h22() = E()山(r) = P1(x)P2 (y)P3(z)2md?p1(x)d22(y)dp3(z)P2(y)3(2) +P1(x)3(z) +P1(x)P2() +dz2dx2dy2(k + k3 + k2)P1(x)P2(y)3(z) = 0d'g,(y)d'g (ax)d'p,(z)dy?dr?dz?+(k.2+k.2+k.)=09(x)P2(y)P:(z)d'p(x)+k2q(x)=0把一个三维自由电子运动dx?的方程变成三个一维自由d'p,(y)2+k,29,(y)=0进行分离变量后有：电子气体的情形。dy?d'(2) +k? 0:(2) =0dz?
进行分离变量后有： 把一个三维自由电子运动 的方程变成三个一维自由 电子气体的情形
其驻波解：=Asinkxxsinkysinkzz(kx2+ ky2 + kz)电子能量为：E=2mnynz元nx.kkk.一(nx,ny,nz = 1,2,3,4,.....).71L其平面波解为：山()=Cei-归一化条件：Jl()IdV= C2V= 1= =:1eik,平面波解()=2元其中为平面波波矢，方向为其传播方向，大小为k=入
平面波解