离散数学试卷（十二）参考答案 一、填空20%（每空2分） 1、LCM(xy:2、乘法：3、a、6,Y、5:4、群：5、G={a,a2,a-,a=e: 6、{ka,ba∈G,b∈G,a*b∈H;、mln:7、{xlx∈G且fx)=e 二、选择20%（每小题2分) 题目12345678910 答案BB,C DA B AA D C C,D 三、8% 解：因为2，所以A上共有2=4个不同函数。令A={f,∫，f},其中 =1f(2)=2;f2=1f(2)=1;f0)=2f5(2)=2;f①=2，f(2)=1 f 2 f f 为A中的么元，和,有逆元。 四、证明42% 1、(8分) 证明： []aeR,0*a=0+a+0a=a,a*0=a+0+a0 即0*a=a*0=a.0为么元 [乘]a,b∈R,由于+，·在R封闭。所以a*b=a+b+ab∈R即*在R上封闭。 [群]a,b,c∈R (a*b)*c=(a+b+a.b)*c=a+b+a.b+c+(a+b+a-b).c =a+b+c+a-b+a-c+b.c+a.b.c a*(b+c)=a+b+c+a.b+a.c+b.c+a.b.c 所以(a*b)*c=a*(b*c)
离散数学试卷（十二）参考答案 79 一、填空 20%（每空 2 分） 1、LCM（x,y）；2、乘法；3、α、δ，γ、ζ；4、群；5、 { , , } 2 1 G a a a a e n n = = − ， ； 6、{ , | , , * } 1 a b a G bG a b H − 、 m/ n ；7、{x | xG 且 f (x) = e } 二、选择 20%（每小题 2 分） 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B，C D A B A A D C C，D 三、8% 解：因为|A|=2，所以 A 上共有 2 2=4 个不同函数。令 { , , , } 1 2 3 4 A f f f f A = ，其中： f 1 (1) =1, f 1 (2) = 2 ; f 2 (1) =1, f 2 (2) =1; f 3 (1) = 2, f 3 (2) = 2 ; f 4 (1) = 2, f 4 (2) =1 1 f 2 f 3 f 4 f 1 f 1 f 2 f 3 f 4 f 2 f 2 f 2 f 2 f 2 f 3 f 3 f 3 f 3 f 3 f 4 f 3 f 3 f 2 f 1 f 1 f 为 AA 中的幺元， 1 f 和 4 f 有逆元。 四、证明 42% 1、（8 分） 证明： [幺] a R ，0* a = 0 + a + 0 a = a , a *0 = a + 0 + a 0 即 0*a = a*0 = a 0为幺元 [乘] a,b R ，由于+，·在 R 封闭。所以 a*b = a +b + abR 即*在 R 上封闭。 [群] a,b, c R ( * ) * * ( * ) * ( * ) ( * ) * ( ) * ( ) a b c a b c a b c a b c a b a c b c a b c a b c a b a c b c a b c a b c a b a b c a b a b c a b a b c = = + + + + + + = + + + + + + = + + = + + + + + + 所以
离散数学试卷（十二）参考答案 因此，〈R,)是独异点。 2、(10分) 证明：(1)：d=GCDn,k),设n=dn,k=dk ∴e=a"h=a%4=a=b4 (2)若b的阶不为m,则b阶m<n,且有m=m(>),则有b=e,即 a“=eaA号-e,即a÷=a产=e,k有因子1，这与d=GCD.k)矛盾。 由，2)知，元素b的阶为号 3、(6分) ta,beA,gof(a☆b)=g(f(a☆b)》=g(f(a)*f(b) =gf(a)△g(fb》=gof(a)△gf(b) 所以g·∫是由<A,☆>到<C,△>的同态映射。 4、(8分) 证明：反证法：如果<A,+,>是整环，N≥3，则a∈A,a≠0，a≠1且aa=a 即有a≠0，a-1≠0且a(a-1)=a~a-a=a-a=0,这与整环中无零因子矛盾。 所以<A,+,·>不可能是整环。 5、(10分) (1)代数系统<K,LCM,GCD,·>是由格<K,|>诱 导的，其Has图为 Has图中不存在与五元素格 同构的子格。 所以<K,P格是分配格。 (2)x∈K,3x=100/x使得：LCM(x,x)=110,GCDx,x)=l 如：22=10 5,LCM22,5)=110,GCD22,5)=1 22
离散数学试卷（十二）参考答案 80 因此 ， 〈R，*〉是独异点。 2、（10 分） 证明：（1） 1 1 d = GCD(n,k),设n = d n ,k = d k 1 1 1 n1 n1 n k d n k k e = a = a = a = b （2）若 b 的阶不为 n1，则 b 阶 m<n1，且有 ( 1) n1 = l m l ，则有 b e m = ，即 a e a e e n d k k m = = 1 1 , ，即 a a e e k n e k d n = = 1 1 1 ， 1 k 有因子 l ，这与 d = GCD(n, k) 矛盾。 由（1）、（2）知，元素 b 的阶为 d n 3、（6 分） ( ( ))△ ( ( )) ( )△ ( ) , , ( ) ( ( )) ( ( ) * ( )) g f a g f b g f a g f b a b A g f a b g f a b g f a f b = = ☆ = ☆ = 所以 g f 是由<A,☆>到<c,△>的同态映射。 4、（8 分） 证明：反证法：如果<A ，+ ，·>是整环，且|A|≥3，则 a A,a ,a 1 且 aa = a 即有 a ,a −1 且 a (a −1) = a a − a = a − a = ，这与整环中无零因子矛盾。 所以<A ，+ ，·>不可能是整环。 5、（10 分） （1） 代数系统<K , LCM , GCD, ˊ> 是由格<K , | >诱 导的，其 Hasst 图为 Hass 图中不存在与五元素格 和 同构的子格。 所以<K,|>格是分配格。 （2） xK,x =100/ x 使得: LCM(x, x ) =110,GCD(x, x ) =1 5 , (22,5) 110, (22,5) 1 22 110 如: 22 = = LCM = GCD =
离散数学试卷（十二）参考答案 即任元素都有补元，所以<K,>有补格。 <K,LCM,GCD,'>是布尔代数。 五、布尔表达式10% 解：函数表为： X 3 X3 E(x1,x2,x3) 、0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 析取范式： E(x,x2,x3)=(XIAX2Ax3)V(xIAx2X;)VAX2AX3) V(Ax23)V(x)V(xAx2Ax3) 合取范式：E(x1,x2,x3)=(x1VxV2x3)A(xVx2Vx3) 81
离散数学试卷（十二）参考答案 81 即任元素都有补元，所以<K,|>有补格。 <K , LCM , GCD,’>是布尔代数。 五、布尔表达式 10% 解：函数表为： 1 x 2 x 3 x ( , , ) 1 2 3 E x x x 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 析取范式： ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3 x x x x x x x x x E x x x x x x x x x x x x = 合取范式： ( , , ) ( ) ( 1 2 3 ) 1 2 3 1 2 3 E x x x = x x x x x x