在主轴坐标系中有 dt 若磁场方向取在z轴方向,B=Bz,即可写出其相应的准经典运动方程 B eB 这与普通物理中的结果是一致的
在主轴坐标系中有 若磁场方向取在z轴方向，B＝BZ，即可写出其相应的准经典运动方程。 这与普通物理中的结果是一致的。 z z z y y y x x x F dt m dv F dt m dv F dt m dv * * * 1 , 1 , 1 = = = 0 * * = = = − dt dv v m eB dt dv v m eB dt dv z x y y y x x
自由电子的轨道量子化 在没有磁场时,自由电子的哈密顿量为:H 2n 当有磁场存在时,电子运动的哈密顿量为 p+. 2 A为磁场的矢势,B=V×A 若磁场B沿z方向,则可选取A=(-By,0,0)? -eBy+p+ 针对磁场 2 V·B=0 B=V×A A的物理意义可由下式看出 「AdD=JB 即在任一时刻,矢量A沿任一闭合回路L的线积 分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量
二、自由电子的轨道量子化 在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为： 当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为 A为磁场的矢势， B = ∇× A 若磁场B 沿z 方向，则可选取 A = (−By, 0, 0)? m p H 2 2 = ( ) 2 2 1 p eA m H = + [( ) ] 2 2 2 ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ x py pz p eBy m ∴H = − + +
由于哈密顿算符中不含x和z, H与=请及2=-i对易 根据量子力学,H和、p2有共同本征态。 设v为其共同本征态,有 p y=hk y 波函数可以写成v(r)=e3(y 代入波动方程Hvy=E
由于哈密顿算符中不含x 和z， 波函数可以写成 代入波动方程 根据量子力学，H 和px、pz 有共同本征态。 设ψ为其共同本征态，有 ψ ψ ψ ψ z z x x p k p k = = ˆ ˆ 与 及 对易。 z p i x H p i x ∂ ∂ = − ∂ ∂ ˆ = − ˆ z ˆ ( ) ( ) ( ) e y i k x k z x z ψ ϕ + r = Hˆψ = Eψ
nk, -eBy +P2+hk b(y)=Ep(y 2m (nk,-eBy (=E 力2 2m ay 21 2m h2 a2 meb h 9(y)=E 方k2 e」 2 +mo2( lo(y)=Ep(y) 2m ay 2 B hk 其中 -k E 2 上式是中心位置在y=y,振动圆频率为ω的线性谐振子
[( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 1 2 ˆ ( ) ( ) 2 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m y y y y m y y m k k y y E m eB m eB m y y m k k eBy y E m y m k eBy p k y E y m c z x z x x y z ω ϕ εϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + − ∂ ∂ − = − − + ∂ ∂ − = − + − ∂ ∂ − − + + = 上式是中心位置在y = y0，振动圆频率为ωc的线性谐振子。 其中 m eB ωc = x k eB y 0 = m k E z 2 2 2 ε = −
解为 0,(y-y)≈ N, expl 3(y-y)1),m Nn为归一化因子,Hn(y)为厄密多项式。 相应的能量本征值为 n+ 2n,n=012 「「 y(r)=e"+ P, (y-yo) (k)=h2k2 h2k2 +n+-o 2m 即:根据量子理论,电子在垂直于磁场平面内的匀速圆周运动对应于一种 简谐振动,其能量是量子化的。我们将这种量子化的能级称为朗道能级 (Landau leveD)
解为 Nn为归一化因子，Hn(y)为厄密多项式。 相应的能量本征值为 即：根据量子理论，电子在垂直于磁场平面内的匀速圆周运动对应于一种 简谐振动，其能量是量子化的。我们将这种量子化的能级称为朗道能级 （Landau level）。 ( ) ( ) − − ≈ − − 0 0 0 0 2 ( ) exp y y m y y H m n y yo Nn n ω ω ϕ = … = + , 0,1,2, 2 1 ε n n ωc n ( ) ( )0 ( ) e y y n i x z ∴ = − + ψ ϕ x z k k r c z n z n m k m k E ε ω = + = + + 2 1 2 2 ( ) 2 2 2 2 k