非线性物理：混沌物理 0<1：迭代单调的趋近x*,m>1表示迭代指数增长发散。 -1<0:迭代经过几次上下起伏趋近于x*,<-1表示迭代指数 振荡增长发散。 周期解： 按照上述稳定性分析，从初值x出发，迭代过程要么发散，要么 收敛到两个定常态之一。然而，在合适的μ值情况下，迭代过程 表现为：xf小，xf,循环往复，出现倍周期解。 周期2解应该满足：x=ffx)》→f2x),周期4解满足 x=f0f0f0f》→f4)
非线性物理：混沌物理 • 0<m<1：迭代单调的趋近 x*，m>1表示迭代指数增长发散。 • -1<m<0：迭代经过几次上下起伏趋近于 x*， m<-1表示迭代指数 振荡增长发散。 • 周期解： • 按照上述稳定性分析，从初值 x0 出发，迭代过程要么发散，要么 收敛到两个定常态之一。然而，在合适的 值情况下，迭代过程 表现为：x2=f(x1)，x1=f(x2)，循环往复，出现倍周期解。 • 周期2解应该满足：x=f(f(x)) f 2(x)，周期4解满足 x=f(f(f(f(x)))) f 4(x)
非线性物理：混沌物理 以x=f2x为例，方程变为： x=f(f(x》=4I(1-x][1-(1-x)] x-4[x(1-x][1-x(1-x]=O ·方程x=fx的两个定常解依然是上述方程的两个根，从而求得另 外两个根： -〔--++u--0 ,=(+1)生u+1u-3 24
非线性物理：混沌物理 • 以 x=f 2 (x)为例，方程变为： • 方程 x=f (x)的两个定常解依然是上述方程的两个根，从而求得另 外两个根：
非线性物理：混沌物理 实根x2要求4>3，也就是说，只要满足此条件，周期2解一定存 在。如μ=3.2，有x=0.513,x2=0.799。 ·周期4、周期8、及至周期2"的根可以依此类推求解出来，剔除掉 低倍周期的全部根，剩余的实根数目就是2“，对应于周期2解。 ·在μ=3.57时，n趋向无穷，即混沌解！ 0.8 0.6 V 08 0.4 μ=3.1 型 0.4 0.2 =3.S2 0.2 6 0.0 10 15202530
非线性物理：混沌物理 • 实根 x1,2要求 >3，也就是说，只要满足此条件，周期2解一定存 在。如 =3.2，有 x1=0.513，x2=0.799。 • 周期4、周期8、及至周期 2n 的根可以依此类推求解出来，剔除掉 低倍周期的全部根，剩余的实根数目就是2n，对应于周期2n解。 • 在 =3.57时，n趋向无穷，即混沌解！
非线性物理：混沌物理 倍周期的图形解： Xn+l =3.3 0.8 0.6 0.4 再演示一下倍周期分叉过程。 0.2 0 Xn+2 0.8 1/2 d3 0.6 0.4 0.2 4R M:RR 00.20.40.60.81 福 Xn
非线性物理：混沌物理 • 倍周期的图形解： • 再演示一下倍周期分叉过程
非线性物理：混沌物理 驱动与耗散的竞争： ·从物理本质上看，分岔是非线性系统驱动力和耗散力竞争达到临 界状态而对应的演化行为转变。再以平方映射为例： Xn1=Ln (1-xn) 显然，心n是驱动力，心是耗散力，两者之间竞争导致状态的 丰富多样。在定常态附近判断两力相对大小依赖于： 6xn+1 of x=x*
非线性物理：混沌物理 驱动与耗散的竞争： • 从物理本质上看，分岔是非线性系统驱动力和耗散力竞争达到临 界状态而对应的演化行为转变。再以平方映射为例： (1 ) n 1 n n x x x • 显然，xn是驱动力，-xn2是耗散力，两者之间竞争导致状态的 丰富多样。在定常态附近判断两力相对大小依赖于：