§3.3距离空间一收敛 收敛:度量空间(W,p)中的点列{x)m收敛于x →x是{xn}m1的极限 台→p(x,x)→0,当n→>∞ ◇lim h-)∞h 定理:在(W,p)中,每个收敛点列有唯一的 极限点
11 §3.3 距离空间－收敛 • 收敛： • 定理：在 中，每个收敛点列有唯一的 极限点。 ( ) ( ) 1 0 0 1 0 0 , , 0 , lim n n n n n n n W x x x x x x n x x = = → → → = 度量空间 中的点列 收敛于 是 的极限 当 (W, )
§3.3距离空间一完备度量空间 柯西序列— - cauchy Sequence 设{xn}m是(W,p)中的点列,若对vE>0 aN=N(e,fp(n,xm)<8,n,m>N, 则称{xn}m1是(W,)中的柯西序列 例:p(xn,xn)4|x m x 0 m2n->0 12
12 §3.3 距离空间－完备度量空间 • 柯西序列——Cauchy Sequence – 例： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , 0 , , , , , , , n n n m n n x W N N x x n m N x W = = = 设 是 中的点列,若对 使 则称 是 中的柯西序列。 ( ) , , lim 0 n m m n m n m n x x x x x x → − − =
§3.3距离空间一完备度量空间 W,)任意收敛序列是柯西序列 (W,p)中的柯西序列未必收敛到W,p)中 例: In m W=[0.1],pX-y,X,Y∈W n/,是柯西序列,但→>0,n→>O,0 13
13 §3.3 距离空间－完备度量空间 • 中任意收敛序列是柯西序列 • 中的柯西序列未必收敛到 中 – 例： (W, ) (W, ) (W, ) 1 1 1 , 0,1 , , , 1 1 0, ,0 0,1 n n W X Y X Y W n n n n = = = − 是柯西序列,但 → →
§3.3距离空间一完备度量空间 完备度量空间— Complete Metric Space (W,p)称为完备度量空间,指其中所有柯 西序列都收敛。 极限运算在完备时可行 如何完备化? W不要求线性空间 14
14 §3.3 距离空间－完备度量空间 • 完备度量空间——Complete Metric Space 称为完备度量空间，指其中所有柯 西序列都收敛。 – 极限运算在完备时可行 – 如何完备化？ – W不要求线性空间 (W, )
§3.4巴拿赫( Banach)空间 15
15 §3.4 巴拿赫（Banach）空间