111(m+ p-1)(m + p)m(m + 1)(m+ 1)(m+ 2)11mm+pm因此，对任给正数。，取N=[二1,使当m>N及对任意正正数p，由上式就有l um+ Um2 +..+ um+pk = <e.m依定理12.1推的级数Z～是收敛的n
( 1)( ) 1 . ( 1)( 2) 1 ( 1) 1 m m m m m + p − m + p + + + + + + = , 1 1 1 m m p m + − 因此，对任给正数 ，取N=[ 1 ],使当m>N及 对任意正正数p，由上式就有 . 1 | . | 1 2 + + + + + + m um um um p 依定理12.1推的级数 n 2 1 是收敛的
定理12.2 若级数 Zu，与 u，都收敛，则对任意常数c,d,级数Z(cu,+du,)亦收敛，且E(cu,+dv,)=cEu,+dv定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性由此定理知道，若级数u，收敛，其和为S,则(8)级数 Un+i +Un+2 +...也收敛，且其和 R,=S-Sn.（8）式称为级数u,的第n个余项（或简称余项
定理12.2 若级数 un 与 n 都收敛，则对 任意常数c,d,级数 ( ) ) n n n n n n c d c d c d u u u + + = + 亦收敛，且 （ . 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并 不改变级数的敛散性. 由此定理知道， 若级数 n un 收敛，其和为S ,则 =1 级数 . 1 2 + + un+ un+ （8） 也收敛 且其和 R S . n n = S − （8）式称为级数 ， un 的第 n 个余项（或简称余项）
定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性，也不改变它的和证明 设Zu为收敛级数，其和为S。记Ui = Ui + ... + Un'V, = Un+I +... Un'Uk = Un.,+I +..+ Un...现在证明乙un加括号后的级数
定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号,既不 改变级数的收敛性 ，也不改变它的和. 证明 设 un 为收敛级数 ，其和为S。记 . , . , 1 1 2 1 u1 un 2 un 1 un = + + = + + + . ,. 1 unk 1 unk k = + + + − 现在证明 un 加括号后的级数
=乙也收敛，且其和也是S.设(sn为收敛级k=l数Zu,的部分和数列，则级数ZU;的部分和数列(Sn}是(Sn)的一个子列.由于(Sn}收敛且lim s,= S.故由子列性质，isn}也收敛,n>8=S，即级数乙U收敛，且它的和且limsSnkk→>也等于S
. lims S n n = → 且 故由子列性质， { sn } 也收敛， k , lim S snk k = → 且 即级数 k 收敛，且它的和 也等于S. 数 un 的部分和数列，则级数 k 的部分和数列 { } s 是{ }的一个子列. nk sn 由于{ } sn 收敛， = k k =1 也收敛，且其和也是S.设{ } sn 为收敛级