当q=-1时，S2k=0，S2k+1 =a,k=0,1,2,,级数发散总之，lg<1时，级数（3）收敛；lgl≥时，级数（3）发散。例2讨论数项级数1111十+(4)n·(n+l)1.22.33.4的敛散性
当q=-1时， s 2k =0， s 2 1 k+ =a,k=0,1,2,.,级数发散 总之，|q|<1时，级数（3）收敛；|q| 时，级数 （3）发散。 例2 讨论数项级数 1 1 1 1 . . 1 2 2 3 3 4 ( 1) n n + + + + + + （4） 的敛散性
解级数（4）的第n个部分和111Sn1.2n(n+1)2.3(+()(1-)+(1=1n+1由于 lims,=lim(1-因此级数（4）收敛，且111+...=11.22.3n(n + 1)
解 级数（4）的第n个部分和 1 1 1 . 1 2 2 3 ( 1) n n n s = + + + + 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) . ( ) 2 2 3 1 n n = − + − + + − + 1 1 . n 1 = − + 由于 1 (1 ) 1, 1 lim lim n n n n s → → = − = + 因此级数（4）收敛，且 1 1 1 . . 1 1 2 2 3 ( 1) n n + + + + = +
定理12.1（级数收敛的柯系西准则D级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N是的当m>N以及对任意的正整数p,都有I umI + Um+2 + ...+ Um+, k c.(6)根据定理12.1，我们立刻可写出级数（1）发散的充要条件：存在某正数c。，对任何正整数N，mo(> N)和 p。, 有总存在正整数++Um.2 +..+ Um*p.co.(7)I Umo+I +
定理12.1（级数收敛的柯系西准则） 级数（1）收 敛的充要条件是：任给正数 ，总存在正整数N, 是的当m>N以及对任意的正整数p,都有 | . | . 1 2 + + + um+ um+ um+ p （6） 根据定理12.1，我们立刻可写出级数（1）发散的 充要条件：存在某正数 0 ，对任何正整数N， 总存在正整数 m0 （ N) 和 p0 ，有 | . | . 1 2 0 0 0 0 0 um + + um + + + um + p (7)
limun = 0.推论若级数（1）收敛，则n>8例3讨论调和级数1.1.1+=+=+.….+二+.…. 的敛散性23n解这里调和级数满足推论，即：1lim u, = lim=0.2nn>8但令p=m时，有111Um+I +Um+2 +....2mm+2m+1
推论 若级数（1）收敛，则 0. lim = → un n 例3 讨论调和级数 . 1 . 3 1 2 1 1+ + + + + n 的敛散性. 解 这里调和级数满足推论，即： 0. 1 lim = lim = → → n u n n n 但令p=m时，有 | 2 1 . 2 1 1 1 | . | | 1 2 2 m m m um um u m + + + + + + + + = + +
卤驼敢2mGo对任何正整数N,只要m>N2-和p=m就有（7）式成立.所以调和级数是发散的例4应用级数收敛的柯西准则证明级数M1收敛证 由于 lUm+I+Um+2+.+Um+p11(m+1) (m+2)(m+p)
2. 1 | 2 1 . 2 1 2 1 | + + + = m m m 因此，取 0 = 2 1 ，对任何正整数N,只要m>N 和p=m就有（7）式成立.所以调和级数是发散的. 例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数 . 1 2 收敛 n 证 由于 | . | um+1 um+2 um+ p + + + 2 2 2 1 1 1 . ( 1) ( 2) ( ) m m m p = + + + + + +