四、正弦电压、电流的有效值 现在将直流电流I和正弦电流()通过电阻R时的能量作 一比较，由此导出正弦电压电流的有效值，它是一个十分 有用的量。 直流电流I和正弦电流i()=Icos(o什)通过同一电阻R, 令它们在时间T内获得的能量相等 W=IPRT=∫iP(0Rdr R
四、正弦电压、电流的有效值 T W I RT i t R t 0 2 2 ( ) d 现在将直流电流I和正弦电流i(t)通过电阻R时的能量作 一比较，由此导出正弦电压电流的有效值，它是一个十分 有用的量。 直流电流I和正弦电流i(t)=Im cos(t+ψ)通过同一电阻R， 令它们在时间T内获得的能量相等
由此解得 (10-4) 用此式计算出正弦电流i()=Imc0s(@什叨的方均根值， 称为正弦电流的有效值。具体计算如下 号raa1=号cso+wa -5-o2a+2= =0.7071m (10-5) 2cos x=1+cos2x
由此解得 ( )d (10 4) 1 0 2 T i t t T I 用此式计算出正弦电流i(t)=Im cos( t+ψ)的方均根值， 称为正弦电流的有效值。具体计算如下 0.707 (10 5) 2 [1 cos( 2 t 2 )]d 2 1 1 cos ( t ) d 1 ( ) d 1 m m 0 2 m 0 2 2 m 0 2 I I I t T I t T i t t T I T T T 2cos x 1 cos2x 2
计算结果表明，振幅为1的正弦电流与数值为 I=0.707Im的直流电流，在一个周期内，对电阻R提供相同 的能量。也就是说正弦电压电流的有效值为振幅值的0.707 倍，或者说正弦电压电流的振幅是其有效值的 √2 倍。 与此相似，正弦电压u()=U cos(o什)的有效值为 dr U =0.707Um (10-6) 2
与此相似，正弦电压u(t)=Um cos( t+ψ)的有效值为 0.707 (10 6) 2 ( ) d 1 m m 0 2 U U u t t T U T 计算结果表明，振幅为Im的正弦电流与数值为 I=0.707Im 的直流电流，在一个周期内，对电阻R提供相同 的能量。也就是说正弦电压电流的有效值为振幅值的0.707 倍，或者说正弦电压电流的振幅是其有效值的 2 倍
有效值的概念在电力工程上非常有用，常用的交流电 压表和电流表都是用有效值来进行刻度的，当我们用交流 电压表或普通万用表测量正弦电压的读数为220V时，是指 该电压的有效值为220V,其振幅值为 V2×220V=311V 由于正弦电压电流的振幅值与有效值间存在√2 的关系， 今后除了使用前面介绍的振幅相量Um=Um∠4和 m=Im∠ 外，更多使用的是有效值相量 0=U∠yn和i=1Ly 正弦 时间函数与有效值相量之间的关系如下： u(t)=UV2cos@t+wu)←→U=U∠4u it)=IV2 cos(@t+yw)←→i=I∠w
有效值的概念在电力工程上非常有用，常用的交流电 压表和电流表都是用有效值来进行刻度的，当我们用交流 电压表或普通万用表测量正弦电压的读数为220V时，是指 该电压的有效值为220V，其振幅值为 2 220V 311V i i u u ( ) 2 cos( ) ( ) 2 cos( ) i t I t I I u t U t U U 由于正弦电压电流的振幅值与有效值间存在 的关系， 今后除了使用前面介绍的振幅相量 和 外，更多使用的是有效值相量 和 。正弦 时间函数与有效值相量之间的关系如下： 2 U m U m ψu m m ψi I I U Uψ u ψ i I I
8() 2T (a) 有效值的概念也适用于任何周期性电压和电流。例如 对于图10-8(a)所示三角波形，将瞬时值表达式 8(t) 代入式10-4)中 6-wd=号等0 计算结果表明该三角波形的有效值是振幅值是的 3 倍，或者说其振幅值是有效值的 倍
有效值的概念也适用于任何周期性电压和电流。例如 对于图10-8(a)所示三角波形，将瞬时值表达式 t T A g(t) 代入式(10－4)中 3 ( ) 3 1 1 d 1 ( ) d 1 0 3 2 2 0 2 0 2 A t T A T t t T A T g t t T G T T T 计算结果表明该三角波形的有效值是振幅值是的 倍，或者说其振幅值是有效值的 倍。 3 1 3 图 10-8