第四章控制系统的稳定性分析 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn
1 第四章 控制系统的稳定性分析 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn
第四章控制系统的稳定性分析 第一节稳定性的基本概念 系统的稳定性 如果一个线性定常系统在扰动作用消失后,能 够恢复到原始的平衡状态,即系统的零输入响应 是收敛的,则称系统是稳定的。 反之,若系统不能恢复到原始的平衡状态, 即系统的零输入响应具有等幅震荡或发散性质, 则称系统是不稳定的
2 第一节 稳定性的基本概念 一、系统的稳定性 如果一个线性定常系统在扰动作用消失后，能 够恢复到原始的平衡状态，即系统的零输入响应 是收敛的，则称系统是稳定的。 反之，若系统不能恢复到原始的平衡状态， 即系统的零输入响应具有等幅震荡或发散性质， 则称系统是不稳定的。 第四章 控制系统的稳定性分析
例 稳定系统 不稳定系统 定义表明:线性系统的稳定性仅取决于系统自 身的固有特性,而与外界条件无关。 设系统在初始条件为零,输入为单位脉冲函 数,即R(S)=1。当t>0时,=0,这相当于系 统在扰动信号作用下,输出信号偏离原平衡工作点 的问题。若时,这时系统的输出为脉冲响应 limc(t=o t→)∞ 即输出增量收敛于原平衡工作点,线性系统稳定
3 例： 稳定系统 不稳定系统 定义表明：线性系统的稳定性仅取决于系统自 身的固有特性，而与外界条件无关。 设系统在初始条件为零，输入为单位脉冲函 数，即R（S）=1。当t>0时， =0，这相当于系 统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点 的问题。若时，这时系统的输出为脉冲响应 即输出增量收敛于原平衡工作点，线性系统稳定 。 (t) ( ) 0 lim = → c t t
线性系统稳定的充要条件 设闭环系统的传递函数 C(s)bmS"+ bm-S+.+6S+ o B(S) R(S D (m≤n) anS+an-1S+…+aS+a0 令(=12团为系统特征方程)=的根,而 彼此不等。干扰为理想脉冲函数:R(s)=1 C(s)=B(S) R(S) B(s D(s S =∑+∑ a, S+B +2r=n s-p (σ;+j0,)s-( c(D=cep+2e(A, cosa, t+B, sin@, t)
4 二、线性系统稳定的充要条件 设闭环系统的传递函数 令 为系统特征方程 的根，而 彼此不等。干扰为理想脉冲函数： 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 D s B s a s a s a s a b s b s b s b R s C s s n n n n m m m m = + + + + + + + + = = − − − − (m n) (i =1,2, ,n) D(s) = 0 = = − + − − + + − = = = r j j j j j j j k i i i s j s j s s p c D s B s R s D s B s C s 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k + 2r = n ( ) ( cos sin ) 1 1 c t c e e A t B t j j j j r j t k i p t i j i = + + = = (t 0) i p R(s) = 1
上式表明: 1。当且仅当系统的特征根全部具有负实部(和均小于 零),即特征根的位置分布在S平面的左半部时,才能成 立,此时系统在扰动消失后能恢复到原来的平衡状态,则系 统是稳定的。 2。若特征根中有一个或一个以上正实部根,即根的位 置分布在S平面的右半部,则,表明系统不稳定; 3。若特征根中具有一个或一个以上实部的根为零(虚 根),即根的位置正好分布在S平面的虚轴上,而其余的根 均位于S平面的左半部,此时系统处于临界稳定状态,输出 呈等幅振荡,系统在扰动信号消失后也不能恢复到原来的平 衡位置,按照稳定性定义,也属于不稳定系统
5 上式表明： 1。当且仅当系统的特征根全部具有负实部（和均小于 零），即特征根的位置分布在S平面的左半部时，才能成 立，此时系统在扰动消失后能恢复到原来的平衡状态，则系 统是稳定的。 2。若特征根中有一个或一个以上正实部根，即根的位 置分布在S平面的右半部，则，表明系统不稳定； 3。若特征根中具有一个或一个以上实部的根为零（虚 根），即根的位置正好分布在S平面的虚轴上，而其余的根 均位于S平面的左半部，此时系统处于临界稳定状态，输出 呈等幅振荡，系统在扰动信号消失后也不能恢复到原来的平 衡位置，按照稳定性定义，也属于不稳定系统