第四章控制系统的稳定性分析 第四节 Nyquist稳定性判据 基本思想:利用系统的开环系统的频率特性判别闭 环系统的稳定性。 预备知识—幅角定理 由复变函数可知,对S复平面上除奇点外的任 点,经过复变函数F(S)的映射,在F(s)平面上可以找 到对应的象。设辅助函数 n (s+zi F(s)=1 S+二 ∑∠s+p ∏+p)∏ tp F(S)ZF(s)
1 第四节 Nyquist 稳定性判据 基本思想：利用系统的开环系统的频率特性判别闭 环系统的稳定性。 一、预备知识——幅角定理 由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一 点，经过复变函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找 到对应的象。设辅助函数 第四章 控制系统的稳定性分析 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s p s z F s 1 1 1 1 j n j 1 i n i 1 Π Π F s F s s z s p s p s z n j j n i i n j j n i i = + − + + + = + + = = = = = = =
令:S从国开始沿任一闭合路径。(不经过F(的零点和极 点)顺时针旋转一圈,F(s)的相角变化情况如下 零点(z4)极点(P 1)-Z在、外 2)P在I外,~△2=0 结论:相角无变化 1)-Z在内,A+=(顺时针) 2)P在内,+-2x(逆时针) 结论:若F(s)在厂中有Z个零点和P个极点,则当s沿r顺时 针方向旋转一圈时,F(s)相角有变化: ∠F(S)=-27(Z-P)
2 令：s从 开始沿任一闭合路径Γs （不经过F(s)的零点和极 点）顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下： 零点(-Zi ) 极点(-Pj ) 1) –Zi在Γs外， 。 2) –Pj在Γs外， 。 结论：相角无变化 1) –Zi在Γs内， 。(顺时针 ) 2) –Pj在Γs内， 。(逆时针) 结论：若F(s)在Γs中有Z个零点和P个极点，则当s沿Γs顺时 针方向旋转一圈时，F(s) 相角有变化： 1 s s + zi = 0 s + zi = 2 s + pj = 2 s + p j = 0 1 − z 2 0 − z s Im Re 1 s F(s) = −2 (Z − P)
幅角定理: F(s)是s的单值有理函数,在平面上任一闭 合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点,并且 不经过F(s)的任一零点和极点,则当s沿闭合 路径顺时针方向旋转一圈时,映射到P(s)平面 内的F(s)曲线顺时针绕原点(Z-P) N=Z-P (或逆时针绕原点N=P-Z圈) 其中:N为圈数,正、负表示的旋转方向:逆时 针为正,顺时针为负
3 幅角定理： F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭 合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且 不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合 路径顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s)平面 内的F(s)曲线顺时针绕原点（Z – P）圈。即 N=Z-P （或逆时针绕原点N= P - Z圈） 其中：N为圈数，正、负表示的旋转方向：逆时 针为正，顺时针为负
、奈魁斯特稳定性判据 1.奈氏路径 =-→-10→+10→+1→-/顺时针方向包围整个s右半面 由于不能通过F(s)的任何零、极点,所以当F(s)有若干个极点 处于s平面虚轴(包括原点)上时,则以这些点为圆心,作 半径为无穷小的半圆,按逆时针方向从右侧等过这些点。 J 平面 J01 F(s)的极点 +f0 01
4 三、奈魁斯特稳定性判据 1．奈氏路径 顺时针方向包围整个s右半面。 由于不能通过F(s)的任何零、极点，所以当F(s)有若干个极点 处于s平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作 半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。 j j 1 j 1 − j F s( )的极点 R − j − j0 + j0 s平面 s = − j → − j0 → + j0 → + j → − j
2.奈氏判据 设:F(S)=1+GH—闭环系统特征多项式 显然:F(s)的零点就是闭环系统的极点。 (1)1+G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈,根据幅角定理,F(s)平 面上绘制的F(s)曲线T逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差: N=P-Z 当Z=0时,说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面,系统是稳定的;反之,系统则是不稳定的
5 2. 奈氏判据 设： ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。 F(S) =1+G(s)H(s)