即 <nrn <8 4.若对任意E>0和任意正整数p,存在N(,p),使得 对一切n>N成立,问级数∑x是否收敛? 解级数∑xn不一定收敛 例如:级数∑x=∑发散,但对任意>0和任意正整数p,取 (,p)=P,当n>N(E,p)时 P Fn+xn2+“+xm<n+16 5.若级数∑x,收敛,imx=1,问级数∑yn是否收敛? 解∑yn不一定收敛。 n+1 反例:x (-1)n+1 y 则 1,但级数∑xn收 敛,而级数∑y发散。 6.设xn≥0, lim x=0,问交错级数∑(-1)"“xn是否收敛? 解∑(-1)4xn不一定收敛。 2k 反例:x k 则xn≥0,imx,=0,但∑(-1)xn发 散。 7.设正项数列{xn}单调减少,且级数∑(-1)x发散。问级数∑ 是否收敛?并说明理由
即 < < ε 0 nxn 。 4. 若对任意ε > 0和任意正整数 p，存在 N(ε , p) ，使得 ｜ x n+1 + xn+2 + … + xn+ p｜< ε 对一切 n＞N 成立，问级数∑ 是否收敛？ ∞ n=1 n x 解 级数∑ 不一定收敛。 ∞ n=1 n x 例如：级数∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ = = 1 1 n n 发散，但对任意ε > 0和任意正整数 p，取 ε ε p N( , p) = ，当n > N(ε , p)时， < ε + + + + + + + < 1 1 2 n p x x x n n " n p 。 5. 若级数∑ 收敛， ∞ n=1 n x lim n→∞ n n y x = 1，问级数∑ 是否收敛? ∞ n=1 n y 解 ∑ 不一定收敛。 ∞ n=1 n y 反例： n x n n 1 ( 1) + − = , n n y n n ( 1) 1 1 + − = + ，则lim n→∞ n n y x = 1，但级数 收 敛，而级数 发散。 ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n y 6. 设 ≥ 0， = 0，问交错级数 是否收敛? n x lim n→∞ n x n n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) 解 ∑ 不一定收敛。 ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n x 反例： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = 2 1 1 2 1 2 n k k n k k xn ，则 xn ≥ 0，lim n→∞ 0 n x = ，但 发 散。 n n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) 7. 设正项数列{xn }单调减少，且级数∑ 发散。问级数 ∞ = − 1 ( 1) n n n x ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1+ 1 n n n x 是否收敛？并说明理由。 6
解级数∑,1收敛。 1+ 因为正项数列{xn}单调减少,所以必定收敛。如果imxn=0,则 ∑(-1)"xn是 Leibniz级数,因此收敛,与条件矛盾,所以必定有 lim x=a>0,于是当n充分大时, 因此∑ 1+x 收敛。 8.设级数∑收敛,则当a>a时,级数∑二也收敛 n=I h mnnn%),由于∑x收敛, 证∑=∑( 单调有界,利用 Abel判别法,可知级数∑二收敛 注本题也可利用 Dirichlet判别法证明。 9.若{mx}收敛,∑m(xn-xn)收敛,则级数∑xn收敛。 证令an=x,bn=1,则B4=∑b=k。利用Abel变换,得到 Xk k(xk+I-x) 由于 ∑n(xn1-xn)=∑[(n+1)(xn1-x), 因为数列{}单调有界,级数∑(m+10xm-x,)=∑(x-xm)收敛 由Abel判别法,∑n(xn1-xn)收敛。再由数列(mxn}的收敛性,即可 知级数∑xn收敛
解 级数∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1+ 1 n n n x 收敛。 因为正项数列 单调减少，所以必定收敛。如果 ，则 是 Leibniz 级数，因此收敛，与条件矛盾，所以必定有 { }n x lim = 0 →∞ n n x ∑ ∞ = − 1 ( 1) n n n x lim = > 0 →∞ n α n x ，于是当n充分大时， n n n x ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 1 1 α ，因此∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1+ 1 n n n x 收敛。 8. 设级数∑ ∞ =1 0 n n n x α 收敛，则当α > α 0时，级数∑ ∞ n=1 n n x α 也收敛。 证 ∑ ∞ n=1 n n x α ) 1 ( 1 ∑ 0 0 ∞ = − = ⋅ n n n n x α α α , 由于 ∑ ∞ =1 0 n n n x α 收敛， ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − 0 1 α α n 单调有界，利用 Abel 判别法，可知级数∑ ∞ n=1 n n x α 收敛。 注 本题也可利用 Dirichlet 判别法证明。 9. 若｛nxn｝收敛，∑ 收敛，则级数 收敛。 ∞ = − − 2 1 ( ) n n n n x x ∑ ∞ n=1 n x 证 令a x n n = , bn =1, 则B b k 。利用 Abel 变换，得到 k i k ∑ i = = = 1 ∑ ∑ 。 = − = = − + − n k n k k n k k x nx k x x 1 1 1 1 ( ) 由于 ∑ ∞ = + − 1 1 ( ) n n n n x x ] 1 [( 1)( ) 1 1 + = ∑ + − ⋅ ∞ = + n n n x x n n n ， 因为数列 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n +1 n 单调有界，级数 收敛， 由 Abel 判别法，∑ 收敛。再由数列｛ ｝的收敛性，即可 知级数 收敛。 ∑ + − = ∞ = + 1 1 ( 1)( ) n n n n x x ∑ ∞ = − − 2 1 ( ) n n n n x x ∞ = + − 1 1 ( ) n n n n x x nxn ∑ ∞ n=1 n x 7