q A 法2]运用弯曲应变能公式 弯矩 M(x)=x 2 2 应变能 M(x)dx 25 2EI 2EI0(4 x2+x4-x|c-240EI
2 ( ) 2 2 ql qx M x x = − ( ) 2 2 2 2 5 2 4 3 0 d 1 d 2 2 4 4 2 240 l l M x x q l l q l V x x x x EI EI EI e = = + − = [法 2 ] 运用弯曲应变能公式 q A B l y x 弯矩 应变能
q A B 法3]运用应变能密度求应变能 弯矩 M()4 2 应变能密度 M2(x)2 E 2E 2EI M 应变能 v dv I 2EI Cdalar M x 2EI 2EI0(4 240EI
2 ( ) 2 2 ql qx M x x = − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 5 2 4 3 0 d d d 2 d 1 d 2 2 4 4 2 240 V l A l l M x V v V y A x EI M x x q l l q l x x x x EI EI EI e e = = = = + − = [法 3 ] 运用应变能密度求应变能 q A B l y x 弯矩 应变能 应变能密度 2 2 2 2 ( ) 2 2 M x v y E EI e = =
例10-3水平杆系如图所示,两杆的长度均为l,横截面面积为A,弹性模量为 E,且均为线弹性。试计算在F作用下的应变能 解:外力作用下,两杆件伸长,沿F方 向下移δ。 由A点平衡得 F F Fl FN 2 sin a 2 tan a 28 2F.S F 62=(1+△)-P2=△2+2△ △l= EA 为高阶微量,可略去不计 EA EA 6 F EA EA
例 10-3 水平杆系如图所示，两杆的长度均为l，横截面面积为A，弹性模量为 E，且均为线弹性。试计算在F 作用下的应变能。 l l a1 A d a1 F 解：外力作用下，两杆件伸长，沿F 方 向下移d 。 由 A 点平衡得 2sin 2 tan 2 N F F Fl F a a d = = ( ) 2 2 2 2 d = + − = + l l l l l l 2 2FN F l d = F l N l EA = 为高阶微量，可略去不计 2 FN EA 2 FN l EA d = 2 2 2 F EA N l d = 3 F EA l d =
F EA 图中绘出了Fδ间的非线性关系曲线 该问题属于几何非线性弹性问题 F与δ的非线性关系,不能按能量原理 V=W=%F△ F 求应变能,而需用积分。 F V=w Fds 6(d F EA Eads =4B4=4
l l a1 A d a1 F 3 F EA l d = 图中绘出了F- d 间的非线性关系曲线 该问题属于几何非线性弹性问题 1 1 0 3 0 4 1 3 1 1 d d 1 1 4 4 V W F EA l EA F l d e d d d d d d = = = = = F与 d 的非线性关系，不能按能量原理 Ve = W = ½ F 求应变能，而需用积分。 3 F EA l d = F d O
例10-4拉杆在线弹性范围内工作。抗拉刚度EA,受到F1,F2两个力作用 (1)若先在B截面加F1,然后在C截面加F2; (2)若先在C截面加F2,然后在B截面加F1 A 分别计算两种加力方法拉杆的应变能。 解:(1)先在B截面加F1,然后在C截面加F2 fa ①在B截面加F1,B截面的位移为△B1=EA 外力功为W=F△B=a 2EA ②再在C上加F2 C C截面的位移为△C2=2(a+b) F2 EA F(a+b F2作功为W)c2EA
例10-4 拉杆在线弹性范围内工作。抗拉刚度EA，受到F1，F2 两个力作用。 (1) 若先在B 截面加F1 ，然后在C 截面加F2； (2) 若先在C 截面加F2 ，然后在B 截面加F1。 分别计算两种加力方法拉杆的应变能。 B C a b A F1 F2 解：(1) 先在 B 截面加 F1，然后在C 截面加 F2 在 B 截面加 F1， B 截面的位移为 1 1 F a B EA = 外力功为 2 1 1 1 1 1 2 2 F a W F B EA = = 再在 C 上加 F2 C 截面的位移为 2 2 F a b ( ) C EA + = F2 作功为 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 2 Fab W F C EA + = =