非线性弹性体,通过应变能密度求应变能 拉杆的材料是非线性弹性体, 当外力由0逐渐增大到F1时,杆端 位移就由0逐渐增到△1。 外力作功为 F.d△ △ V=w F·d△ △1 从拉杆中取出一个各边为单位 P 长度的单元体 作用在单元体上,下两表面的力为 P=6 11 其伸长量△l=E·1=E P
l F ⚫ 非线性弹性体，通过应变能密度求应变能 1 F F1 O 拉杆的材料是非线性弹性体， 当外力由0 逐渐增大到F1 时，杆端 位移就由0 逐渐增到1。 1 0 W F dΔ = 1 0 V W F e dΔ = = 外力作功为 d 从拉杆中取出一个各边为单位 长度的单元体 l = e · 1= e 作用在单元体上，下两表面的力为 p = ·1·1 = 其伸长量 p p
P 该单元体上外力作功为 E1 da 单位体积的应变能即应变能密度为 若取单元体的边长为dx、dy、d, 则该单元体的应变能为 de ve dr dy dz P 令 dx dy dz=dv 则整个拉杆内的应变能为 P
l F e e 1 1 O de p p 1 0 w d e = e 该单元体上外力作功为 p = l = e 单位体积的应变能即应变能密度为 1 0 v w dε e e = = 若取单元体的边长为dx 、dy、dz， 则该单元体的应变能为 dVe = ve dx dy dz 令 dx dy dz = dV 则整个拉杆内的应变能为 d d V V V V v V e e e = =
轴向拉压杆、弯曲 Ea 应变能密度V=0dE=EE2=G 2E 扭转杆r=Gy 应变能密度 z·dy=-G 2G
扭转杆 1 2 2 1 1 0 1 d 2 2 v E E e e = = = e e 轴向拉压杆、弯曲 e = E = G 应变能密度 1 2 2 1 1 0 1 d 2 2 v G G e = = = 应变能密度
例10-1在线弹性范围内工作的杆,已知:M2、G、ld。求:在加载过程 中所积蓄的应变能V 解:[法1运用扭转应变能公式 2G1 2G/ 法2]由应变能密度求应变能 M 2G 2Gl V.=|d M-P da dx (2G 2G1, pda dx M dx= 2GI
2 2 2 2 e P P T l M l V GI GI e = = 解：[法1] 运用扭转应变能公式 例 10-1 在线弹性范围内工作的杆， 已知：Me、G、l、d 。 求：在加载过程 中所积蓄的应变能Ve。 l M e [法 2] 由应变能密度求应变能 2 2 2 2 2 2 e P M v G GI e = = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d d 2 2 d 2 2 e e A l A l P P e e P l P P M M V v V A x A x GI GI M M l I x GI GI e e = = = = =
例102已知:抗弯刚度为EⅠ的简支梁,受均布荷载q作用。求:弯曲应变能 gax A B 解:[法1]运用功能原理求应变能 挠曲线方程 外力的功 2-+ (go ax). w 24EI(I 应变能 v=w 3 x dx= 2×24EⅠJ0(11314 240EI
解：[法1 ] 运用功能原理求应变能 4 3 4 3 4 2 24 ql x x x w EI l l l = − + 挠曲线方程 q A B l y 例10-2 已知：抗弯刚度为EI 的简支梁，受均布荷载q 作用。求：弯曲应变能 w x dx q xd 0 1 ( ) 2 l W qdx w = 2 4 3 4 2 5 3 4 0 2 d 2 24 240 q l x x x q l l V W x EI l l l EI e = = − + = 外力的功 应变能