5梁弯曲时的位移 51梁的位移—挠度及转角 52梁的挠曲线近似微分方程 53积分法计算梁的变形 54叠加法计算梁的变形 55梁的刚度条件及提高梁刚度的措施8
5 梁弯曲时的位移 5.1 梁的位移——挠度及转角 5.2 梁的挠曲线近似微分方程 5.3 积分法计算梁的变形 5.4 叠加法计算梁的变形 5.5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
5.1梁的位移—挠度及转角 梁在平面弯曲时,其轴线弯成 一平面曲线,称为梁的挠曲线。 =f(x) 梁横截面形心的竖向位移称为截面的挠度,用ν来表示。 规定:挠度以向下为正,向上为负。 梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角,用θ来表示。 规定:由变形前的横截面转到变形后,转角以顺时针为正,逆时针为负 梁不同截面的挠度和转角不同,它们是截面坐标的函数,称为梁的 挠度方程和转角方程
5.1 梁的位移——挠度及转角 x y x w F w = f (x) 梁在平面弯曲时，其轴线弯成 一平面曲线，称为梁的挠曲线。 梁横截面形心的竖向位移称为截面的挠度，用w 来表示。 规定：挠度以向下为正，向上为负。 梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角，用 来表示。 规定：由变形前的横截面转到变形后，转角以顺时针为正，逆时针为负。 梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的 挠度方程 和 转角方程。
挠度和转角的关系 w=f(x) 挠曲线方程 6=6(x) 转角方程 =f(x) tan 6= dxf(x)=w 挠曲线为一条平坦的曲线 6≈tan6→6=w
w = f（x） 挠曲线方程 θ =θ（x） 转角方程 ⚫ 挠度和转角的关系 d tan ( ) d w f x w x = = = 挠曲线为一条平坦的曲线 = tan w x y x w F w = f (x)
52梁的挠曲线近似微分方程 曲率与弯矩的关系: 推导纯弯曲梁的正应力时 横力弯曲,忽略剪力对变形的影响 o(x) El. ●曲率与挠曲线的关系(数学表达式) , v<<1,∴ + 1+() 挠曲线与弯矩的关系 M(x) 或E2w"=±M(x)
5.2 梁的挠曲线近似微分方程 ⚫ 曲率与弯矩的关系： ⚫ 曲率与挠曲线的关系（数学表达式) 3 2 2 1 ( ) 1 ( ) w x w = + 1 ( ) w x = ⚫ 挠曲线与弯矩的关系 1 ( ) ( ) z M x x EI = w 1, 推导纯弯曲梁的正应力时 1 z M EI = 横力弯曲，忽略剪力对变形的影响 ( ) z x w = ( ) 或 z w = Μ x
在规定的坐标系中,x轴水平向右为 正,y轴竖直向下为正。 曲线向上凸时:wy>0,M<0 M 曲线向下凸时:w"<0,M>0 M与w的正负号正好相反,所以 M<0 ">0 El -M(x) dx 挠曲线近似微分方程 M 挠曲线近似微分方程的近似性: 忽略了“F5”以及)2对变形的影响 使用条件:弹性范围内工作的细长梁。 M>0 0
O x y M M M<0 w" 0 O x y M M M>0 w" 0 在规定的坐标系中, x 轴水平向右为 正, y 轴竖直向下为正。 曲线向上凸时 ： w > 0 , M < 0 曲线向下凸时 ： w < 0 , M > 0 M 与 w 的正负号正好相反，所以 挠曲线近似微分方程的近似性： 忽略了“ Fs ”以及 ( ) w 2 对变形的影响 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。 ——挠曲线近似微分方程 2 2 d ( ) d z w ΕΙ M x x = −