1,4-2引理(有界性,唯一性).设(xn)是度量空间 (X,d)中的收敛序列,则(xn)是有界的,且极限是唯一的 证明假定xn→>x∈X,取:=1,则存在正整数N,当n> N时,d(xn,x0)<1,令,a=max{d(x1,x)…, d(xN,x)},那么,对一切m,有,d(xn,x)<1+a,即(x 有界 若x,y都是(xn)的极限,则, 0≤d(x,y)≤d(x,xn)+d(xn,y) 当n→∞时,d(x,xn)→0,d(xn,y)→0,因此d(x,y)=0 即x=y 1.4-3引理.如果x→>x,y,y,那么, d(xn,y,)→d(x,y). 证明利用§1.1中的公式(1)立即得到, d(x, y,)sd(xn, x)+d(x, y)+d(y, y,) 将上述不等式中的x与x,y,与y对换,得, d(x,y)≤d(x,xn)+d( )+d( 将这两个不等式合起来,有, Id(xx, y,)-d(x, y)l <d(xn, x)+d(yn, y) 当n→>∞时,d(xn,y)→d(xy) 在微积分中,数列(xn)收敛的充分必要条件是(xn)满足 Cauchy准则.现试将这一概念移植于度量空间.但有的度 量空间满足 Cauchy准则的序列可能不收敛.这是因为这样 的室间不具有完备性.度量空间的完备性在很多方面起着重 要作用,例如,方程解的存在、唯一性,近似解的收敛性及 算子理论等方面.这也正是微积分为什么不建在有理直线上 而建立在R上的理由. 28
1.4-4定义( Cauchy序列,完备性).设(X,d)是度 量空间,(xn)是X中的序列.如果对于任意8>0,存在N= N(e)>0,当m,n>N时,有, xn)<￡ (1) 则称(x)为 Cauchy序列(或基本序列).如果X中的每个 Cauchy序列均收敛于X里的点,则称X是完备的 1.4-5定理(实直线、复平面).实直线R和复平面C 是完备的度量空间 但去掉实直线R上的一个点a,得到不完备的空间R {a}.更进一步,当去掉实直线R上所有无理数得有理数集Q, 这是个不完备的度量空间 在一般的度量空间中,条件(1)不总是收敛的充分条件, 因为空间可能是非完备的.尽管如此,条件(1)仍然是序列 收敛的必要条件 1.4-6定理(收敛序列),度量空间X中,每个收敛 序列必为 Cauchy序列 证明若x→>x.那么,对于每个ε>0,存在N=N(e) >0,对于一切n>N,使得, d(xn, x)< 因此,当m,n>N时,有 d(xm, x )<d(xm, x)+d(x,x,)<e 故证得(xn)是 Cauchy序列 下面再给出三个经常用到的月与收敛性、完备性有关的 定理 1,4-7定理(闭包,闭集).设M是度量空间(X,d)
的非空子集,M是M的闲包.那么, (a)x∈M当且仅当M中存在序列(x),使得x→x (b)M为闭的充要条件是;若x∈M,x→x,则x ∈M 证明(a)设x∈M.若x∈M,(x,x,…,)就是所要求的 序列.若x∈M,它就是M聚点,因此,毎个球B(x;1/n) n=1,2…)包含一个x,∈M.由1→0(n→∞,知x。→x 反之,如果(xn)cM且x,x,则x∈M或x的每个邻域 B(x;e)包含点xn≠x,后一种情况说明x是M的一个聚点 由闭包的定义知,x∈M. (b)利用定理1.3-4之(c),M是闭集当且仅当M=M, 再由本定理的(a)部分立即证得(b 1.4-8定理(完备子空间).完备度量空间X的子空 间M为完备的,当且仅当M在X中是闭的 证明设M是完备的.设x∈M,xn→x.由定理1.4-6, (xn)是M中的一个 Cauchy序列,因为M是完备的,则x∈ M.根据定理1.4-7(b)于是证得M是闭的 反之,设M是x中闭集,且(xn)是M中任意 Cauchy序 列,由X是完备的,则存在x∈X,使得x,→x.因为M是 闭集,根据定理1.4-7(b)x∈M.从而证明了M中任意Ca uchy序列均在M中收敛,即M是完备的 1.4-9定理(连续映射).度量空间(X,d)到度量空
间(Y,d)中的映射T:X→y在点x∈X连续当且仅当 xn→>x0蕴涵Tx。→Tx0 证明假设T在x连续,由定义1.3-5知,对于每个 0,存在δ>0,使得, d(x,x)<δ蕴涵d(x,Tx)<4 设x,x,则存在N>0,当n>N时 d(x, xo)<8 因此,当n>N时,有 d (Tx. Txo)<e 这表示Txn→Tx 反之,假设xn→x蕴涵Tx,→Tx,现证T在x连续 若T在x不连续,那么,存在一个ε>0,使得对于每个8>0, 都有一个x≠x,满足 d(x,x0)<8,但d(Tx,Tx)≥ 转别取8=1,则有x,使 (xn,x3)<但,d(Txn,Tx)≥ 显然,当n→∞时,x,>x,但Tx不收敛于Tx.这与假设 x→x蕴涵 Tx.-Tx矛盾,因此,T在x连续 1.4-10几个范例的解法 【例1】如果(xn)是度量空间(X,d)中的 Cauchy序 列,且存在一收敛的子序列xnk→x∈X,则x→>x(n→>
证明.对于每个ε>0,存在正整数N,当n,n>N 时 e xm)< 再取足够大,使得m4>N,且d(xmkx)<2因此,当n> 时 d (m, xsd(xn, x .k)+d(xn k, x)<e 即 2 x 【例2】若(x,)和(yn)为度量空间(X,d)中的两 Cauchy 序列,则an=d(xn,y,)收敛 证明.由于(x)和(y)为 Cauchy序列,则对于任意给 定的ε>0,总存在正整数N,当m,n>N时, d(xn,x,)<2,d(yn,y,)< 类似引理1.4-3中证法.当m,n>N时,有 Id(x, 3.)-d(xm, ym)I sd( +d( e 故an=d(xn,y)(n=1.2…)是R上的 auchy序列,由R完 备,所以,a=d(x,y,)收敛 【例3】设d1和d2是同一集X上的度量,且存在正数和 b,使得,对于所有x,y∈X,有, d1(x,y)≤d2(x,y)≤bd1(x,y) 试证(X,d1)和(X,d2)中有同样的 Cauchy序列 证明.设(x)是(X,d1)中的 Cauchy序列,那么,对