e>0,存在8>0,使得满足d(x,x。)<δ的所有x (Tx,Tx)<ε恒成立,如果T关于X的每个点x都是连续 的,则称T是连续映射(参看图2 连续映射可用开 集的术语描述如下: 1.3-6定理(连 续泱射)度量空间X 到度量室间Y中的映 射T是连续的,当且 仅当Y的任何开子集图21.3-5定义中的不等式在 的原象是X的开子 X=R2与Y=R2的情况 集 下的图示 证明.必要性.假设T是连续的,设G∈￥是任一开集 且G是G的原象.若G=,则G是开集,若G0≠,对 于任意x0∈G,存在y0=Tx∈G,由于G是开集,必有开 球B(y0e)cG,因为T是连续的,则有x0的一个δ-邻域 B(xS)映射到B(Txy)中,而B(Tx,e)cG,所以 B(x0;8)cG。,故G是开集 充分性.假定Y中的每个开集的原象是X中的开集.则 对于每个x∈X,Tx0的任意-邻域B(Txε)=G均是开集, 于是由假设G的原象T-1(G)是X中的开集,且x∈T1(G) 因此必有x的一个δ-邻域B(x0)cT-(G),即B(x38)映 射到B(Txo;)中,根据定义T在x点连续,由于x∈X是任 意的,从而证得T是连续的 下面我们利用闭包引进稠密集和可分空间的概念 1.3-7定义(稠密集、可分空间)设M是度量空间X的 2
子集,如果 M= X 则称M在X中稠密.若X存在一可数①子集且在X中稠密,则 称X是可分的 由定义得知,如果M在X中稠密,那么,X里的每个球不 论半径怎样小,都含有M中的点 下面我们给出可分空间与不可分空间的例题 【例1】实直线R是可分的. 证明因为有理数全体所成之集Q是可数的,且在R中 稠密 【例2】复平面C是可分的 证明因为实部和虚部都是有理数的复数所成之集是C 中可数的稠密子集. 【例3】空间(1≤p<∞)是可分的. 证明这里是实的,设M是形如 y=(,m,“,ηn,0,0 的所有实数列所成之集,其中n是任意正整数,;是有理数, 则M是可数的,下面证M在P中稠密,任意x=(;)∈ 有,∑ <∞,对于每个ε>0,存在m,使得 |< 由于有理数在R里稠密,对于每个;(=12…,n)存在有理 ①可数子集概念请参看附录I中A1.1 24
数η1,使,;-;< 于是, 5;-?;|b< 1, )则,y∈M,且 ∑|5;-7,|+∑"< 因此,d(x,y)<P,从而证得M在1中稠密. 不是所有的度量空间都是可分的 【例4】空间是不可分的 证明设φ中其项值”;=0或1的序列y=(”,)所成的集 为Z,则ZC",每-y=(n,)∈Z都对应一个实数y,其二 进制表示式为 1,m2⊥3 22 而每个y∈〔0,1),都有形如(*)的二进制表示式,且不同的 y有不同的二进制表示式.由(0,1)上的实数是不可数的, 所以,Z也不可数 Z中任何两个不同点间的距离均等于1,以每个y∈Z为 中心,以1/3为半径作小球,这些小球互不相交,且有不可数 个.若M是中任意稠密集,那么,这些不相交球的每一个 必含有M的一个元素,因此,M是不可数的,即°的任意稠 密子集均不可数.从而不可分 25
习题13 1.证明度量空间中(a)任意开球是开集;(b)任意闭球是闭 集 2.分别指出R上,C中开球B(x0;1)都是什么?C[-1,1中 X=t2的开球B(x0;)是什么? 3.考虑C[0,2]上的元素x(f)=sint,y(f)=cost试确定最小 的实数r,使得∈B(x;r) 4.试证任意非空集Ac(X,d)是开的当且仅当其为开球的并 5.证明在离散度量空间X里,每个子集既开又闭 6.如果x0是集Ac(x,d的聚点,试证x0的任何邻域中都包含 的无穷个点 写出下列每个子集的闭包.(a)R上全体整数组成的集;(b)2 上有理数全体所成之集;(c)C中具有有理实部与虚部的复数组成的 集;(d)圆盘:{Zl121<1}cC. 8.举例说明在度量空间中,开球B(xo;)的闭包3(x;r)可能不 同于闭球B(x0;r) 9,证明AcA,A=A,AUB=AUB, AnBcAn B 10.不属于闭集Mc(X,d)的点x到M总有非零距离.(只须证 ∈A当且仅当D(x,A=0,这里A是X的任意非空子集.) 11.集Ac(X,d)的边界点x是X的一个点(属于A或不属于A) 且x的每个邻域包含A的点同时也包含不属于A的点.A的所有边界点 所成之集称做A的边界写出下列诸集的边界:(a)B上区间(-1,1) [-1,1),[-1,1];(b)R上所有有理数组成的集!(c)圆盘 z|z<1}cC及 26
{2|2|≤1}cC 12.B[a.b](参见§1.2中的1.2-6)(a<b)是不可分的 13.证明度量空间x是可分的当且仅当X存在一个可数子集Y具 有如下性质对于每个e>0和每个x∈X,存在一个y∈Y,使得 d(x。y)< 14.试证映射T:x→Y是连续的当且仅当任意闭集McY的原 象是X中的闭集 证明在连续映射下,开集的象不一定是开集 §1.4收敛、柯西( Cauchy)序列、完备性 我们知道,在微积分中利用R上的度量定义了数列的收 敛.类似地,在度量空间(X,d)中利用度量d来定义序列的 收敛 1.4-1定义(序列收敛,极限).设(x)是度量空间 x,d)中的序列,若存在x∈X,使得, limd(x .x)=0 则称(x)收做,且x称做(x,)的极限.记为,limx,=x或 若(xn)不收敛,就称共发散 从定义可看出,正是利用了度量d才产生出实数列a,= (xn,x),并由{a}收敛到零定义了(x)的收斂 值得注意的是,收敛序列的极限x必为空间X内一点 例如x=(0.1,x.=1,1→0(.1,那么,序列(1)在 (0,1)里不收斂 在微积分中,收敛序列是有界的,并且极限是唯一的,收 做序列的这两个熟知的性质可推广到一般的度量空间上来