) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第1章插值 ●概 实际中,f(x)多样,复杂,通常只能观测到一些离散数据 或者fx)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来 逼近fx) 自然地,希望g(x)通过所有的离散点 g(x)≈f( co x 3 4
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第1章 插 值 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来 逼近f(x)。 自然地，希望g(x)通过所有的离散点 ⚫ 概念 x0 x1 x2 x x3 x4 g(x) f(x)
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义:f(x)为定义在区间[小上的函数{x}区间上n+1个互不 相同的点①为给定的某一函数类。求D上的函数g(x)满足 g(x)=f(x1), i=0 问题 ●是否存在唯 ●如何构造 ●误差估计
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义： 为定义在区间 上的函数， 为区间上n+1个互不 相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 满足 f (x) a,b 0 n i i x = g(x) g(xi ) = f (xi ) , i = 0, ,n 问题 ⚫ 是否存在唯一 ⚫ 如何构造 ⚫ 误差估计
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 设g(x)=a090(x)+…+an9n(x)则 g(x)=f(x1)=a00(x1)+…+an9n(x1) (ao…,an)有解<→系数行列式不为0 特点: 1.与基函数无关 2.与原函数f(×)无关 3.基函数个数与点个数相同
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ( ) = = + + = + + , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 n i i i n n i n n a a g x f x a x a x g x a x a x 有解 系数行列式不为0 设 则 1. 与基函数无关 2. 与原函数f(x)无关 3. 基函数个数与点个数相同 特点：
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 存在唯一定理 定理11{x)0为n+1个节点,①=spm{1,…n} n+1维空间,则插值函数存在唯一,当且仅当 (x)…qn(x) ≠0 (xn)…qn(x2)
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 存在唯一定理 定理1.1 ： 为n＋1个节点， n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当 0 n i i x = = span{0 ,1 , n } 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 n n n n x x x x
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 对应于Φ=P"(x)=Spm{,x,x2,…x"} 0 x.≠0 0≤j<i Vandermonde行列式
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ( ) {1, , , } n 2 n 对应于 = x = span x x x 则 0 1 1 0 0 = − jin i j n n n x x x x Vandermonde行列式