于每个给定的e>0,总存在正整数N,当m,n>N时, di(xm, x.<i 所以,d2(xm,x)<bd1(xn,x)< 即,(x也是(X,d2)中的 Cauchy序列 若(y-)是(X,d2)中的 Cauchy序列,则对于任意e>0, 存在正整教N,当m,n>N时 d2( 因此,d1(ym,y,)≤d2(yn,yn)< 故(y)也是(X,d1)中的 auchy序列 习题1.4 1,若度量空间X里的序列(xn)收敛于x,试证(xn)的每个子 列(x”A)也收敛于x 2.证明xn>x当且仅当对于x的每个邻域,均存在一个正整数 ,使得当n>n。时,xn∈ 8证明 Cauchy序列是有界的 4.在度量空间中,试问有界序列均为 Cauchy序列吗?收敛吗? 5,对引理1,4-3给出一间接证明 6.利用1,4-10中例3的结果,证明习题1.2中9、10、11各度量 空间有同样的 Cauchy序列 利用实直线R的完备性,证明复平面C的完备性 §1,5例题(完备性的证明) 在本节我们将给出某些度量空间完备性的证明,这些空 33
间在理论与实际应用中是经常遇到的.证明的步骤大体是s 在(X,d中任取一 Cauchy序列(x),相应选定一元素x作 为其极限考虑,证明x∈X且x,—>x.在这些例题的证明 中,我们将借助定理1,4-5中实直线R和复平面C的完备性 1.5-1R"与C是完备的 证明先考虑R”,我们知道,R"上的度量(欧几里得度 量)为 飞;-7,) 其中,x=(1,…,),y=(η,…,η).在R中任取 Cauchy序列(xn),xn=(1m,2(m),…,m 对于任意e>0,存在N>0,当m,r>N时, d(x. x (P)-)2<e 因此,对于j=1.2,…n,当m,r>N时,有 l{m)-< 这说明对每个固定的j(1≤j≤n),序列(1,,…)是 Cauchy实数列,知其收敛,即当m→∞时,m)→;∈R, 利用这n个极限值定义x=(1,…)显然,x∈R,在(1) 中令 当m>N时 d(xnx)≤e 故证得x→x(m->∞),并证明了R"的完备性 利用C的完备性,并以上述同样的方法可证明C"的完备 性 1.5-2空间γ~是完备的 证明设(xm)是1中任意 Cauchy序列,这里x=(r ￡x"),…,),已知上的度量为 34
d(x, y)=sup IE;-n, 其中 (,)∈l n;) 对于任意e>0,存在N>0,当m,n>N时, d(x-,xn)=SuP|5)-”< 对于每个固定的j,当m,n>N时,有 1(m)-{<e 因此,序列(1),ξ2,…,)是C中 Cauchy数列,知其收 敛,即,当m→∞时,}一与;∈C,利用这些极限值,定义 在(2)中令n→∞,当m>N时 )-小≤e (嘛) 因为x=(m)∈l°.则存在一实数k,对于所有的,满 足1≤k灬,因此,对每个j有. 1,≤1;-+1{m≤e+k 不等式右端是与无关的实数,故,证得(;)是有界数列, 即,x=(;)∈1°,.又由(*),得, d(xm,x)=sup|m)-;≤e 这说明当m→∞时,xm>x,从而ψ的完备性得证 1.5-3空间c是完备的.C是所有收敛复数列x=(;)所 成之集,其度量d是由空间1°导出的 证明因为C是1的子空间.若能证明C是闭的,则由定 理1,4-8即可证得其为完备 任取x=(;)∈C,由定理1.4-7(a)知,存在x,=(8”) ∈C,使xn→~x因此,对于每个8>0,存在N>0,当n≥N 时.对所有j,有, 35
1")-51≤d 恃别是,对于n=N及所有j等式也成立,因为x=(, 5,…,)∈C为收敛序列,所以,是复平面上的 Cauch序 列,于是存在一个N1,当,N1时, 15)-5N)< 从而,当j>N1时,有, 一5≤1,-梨1+1)-1+1"-5< 肥这证明了序列x=(5;)是收敛的,即,x∈C.因为x∈C是 任意的,所以,C在1中是闭的 1.5-4空间是完备的,(这里力是固定的,且1≤p 证明设(xm)是空间中任意 auchy序列,这里,x =(m),52(m),…,),对于每个ε>0,存在一个N,当m, n>N时, /P d (xn, x) ()-5 (3) 对于每个j=1,2.…,当m,n>N时,有 m)-<e (4 对于固定的j由(4)知,(51),52).…)是 Cauchy序列 因为R和C是完备的,所以此序列收敛,即,当m→x∞时, 5;,利用这些极限值,定义x=(51,5,…).下面证明x ∈I,且 由(3),当m,n>N时
∑|)-5<ε (=1,2,…) 令n→∞,当m>N时 (=1,2,…) 现在可令k→∞,则对于m>N,有 ∑|)-5,|P≤ε (5) 这就证明了x-x∈1P因为xm∈1P,由§1.2中 Minkowski 不等式,得, xn+(x-xn)∈lP 而且,由(5)得,d(xm,x)≤ε,即xm→x(m→∞)因为(x 是l中任意 Cauchy序列,从而,l2完备性得证 1.5-5空间c[a,b〕是完备的 证明设(xm)是C[a,b]中任意 Cauchy序列,则,对于 任意e>0,存在N,当m,n>N时, d(xm, x =m ax m(ty-x,(5) <e 因此,对于任意固定的扌∈[a,b],当m,n>N时 ()l< 这说明(x1(t),x2((),“)是 Cauchy实数列,所以收敛,即 当m→∞时,xn(t)→x(),以这种方法,使每个t∈[ab 对应一个确定的实数x(t),从而在[ab上定义了一函数x 下面证x∈C[a,b].且x灬→x 在(6)中,令n→∞,当m>N时,得, max|xn(f)-x(t)|≤e t∈(a,b〕 因此,对于每个∈[a,b],当m>N时