如果8(A)<∞,称A是有界的.试证若AcB,则,(A)≤(B) 7.试证(4)=0(参考习题6)的兖要条件是A为单点 集 8,(两集合间的距离)度量空间(X,d)的两个非空子集A与 B间的距离D(A,B)定义为 D(A, B)=infd (a, 5) 试证D不是X的幂集上的度量 9.若A∩Bφ,试证习题8中的D(4,B)=0,其逆成立 吗? 10.点x到(X,d)的非空子集B的距离D(x,B)定义为 D(x, B)=infd(x, 6) 试证对任何x,y∈X,有 D(x,B)-D(y,B)≤d(x,y 11.设(X,d是任何一度量空间,证明, d(x, y) do 1+d( 是X上的另一度量.并证明X按度量d是有界的 12.试证在一度最空间中,两个有界集A与B的并集是有界的(定 义见习题6) 13.(度量空间的积)两个度量空间(X1,d1)与(X2,d2) 的笛卡几乘积x=X1xX2,可用多种方法构成度量空间,试证, d(x,y)=d1(x1,y1)+d2(x2,y2) 是一度量,这里,x=(x1,x2),y=(y1,y2) 14,证明由 d(x,y)=√d1(x1,yn1)2+d2(x2;y2) 定义的d是习题13中上的另一个度量
15.证明按 d(x, 1)=max[dI(x1, y1), d1(x2, y2)) 的d是习题13中X上的第三个度量 §1.3开集、闭集、邻域 为了研究度量空间中极限、连续映射等概念,有必要硏 究度量空间中一些重要点集,其名称我们沿用读者熟知的欧 几里得几何中的术语 与三维欧几里得空间类似,我们在一般的度量空间中引 进开球、闭球、球面的概念, 1.3-1定义(球与球面).设(X,d)是一度量空间 x0∈X,实数r>0,称点集 B(x;r)={x1x∈X且d(x,x)<r} 为以x为中心,r为半径的开球称点集 B(x0r)a{x|x∈X且d(x,x)≤r} 为以x为中心,r为半径的闭球、称点集 S )={x|x∈X且d(x,x0)=r} 为以x为中心,r为牛径的球面 由定义可得,S(xoyr)=B(xr)-B(xyr) 值得注意的是在一般的度量空间中,球和球面可能不再 具有三维欧几里得空间中“球”的形状例如,在离散度量 空间(X,d)中,球面S(x2)是空集,而开球B(x02) 与闭球B(x02)为单点集{x0 79
在度量空间(X,d)中,集McX是有界的当且仅当存在 x∈X与一个正数r,使得McB(xa!r)(证明留给读者, 參看习题1,2中第6题) 开球B(xe)也称做点x的e-邻域,如果N(cX)包含x 的某个e-邻域,则称做x的邻域.因此,若N是x的邻域, 且NcM,那么,M也是x的邻域 下面我们引进点集中相关的两个重要概念 1.3-2定义(开集、闭集).设G是度量空间X的子集,如 果G是G中每一点的邻域,则称G是X中的开集.若X的子 集F,其在X中的余集是开集,即F=XF是x中的开集, 则称F是X中的闭集 如果度量空间x中的集A是点x的邻域,则称x是A的 内点.A的内点全体所成之集称做A的内部,记作A或nt (A).Int(A)是开的且是A中最大的开集. X的所有开子集组成的集族J具有如下性质 13-3定理设J是度量空间X的开子集全体所成之 集族.那么, (T1)∈J,X∈J (T2)J中任意多个元素的并集是T中的元素 (T3)J的有限个元素之交集是T的元素 证明(1因为空集不含任何点,所以不含非内点的 点,这就证得∈J.显然,X是X中每一点的邻域,故, X∈J (T2)设G(∈1)是X中任意一族开集,令G=UG1 对于任意x∈G,则有λ∈I,使得x∈G*,因为G。是x 20
中的开集,所以,必存在B(xe)=G。CG,即,x是G的 内点,G是x的邻域.由于x的任意性,(T2)得证 T3)设G1,…,G是X中有限个开集,任取x∈nG 那么,x∈G(k=1.2,…,n),由于G是开集,所以,存在 B(x;BA)CG,(k=1,2,…,n)取e=min{eh},则e>0,且 1≤k≤n B(x)G,(k=1,2.…,n),因此,B(x2)cC,这说明 ∩G4是x的邻域,从而证得∩Gk∈T 定理1.3-3中的性质是最基本的,我们要在更一般的情 况下考虑任一集X的子集构成的集族T,若T满足公理(T1) 至(3),则称T是X上的一个拓扑,对于给定拓扑T的集合 X称做拓扑空间,记为(X,T) 现在我们再引入两个概念,它们是相互关联的设A是度 量空间X的子集,x∈X(可以是或不是A的点),如果对于 任意ε>0,球B(x0e)里均含有A中异于x的点则称x是A 的聚点由4的聚点全体与A所成之并集称为A的闭包,记作 值得注意的是,在R中开球B(x3r)的闭包B(x0yr)就 是闭球B(x1r).但在一般度量空间中这一性质不一定成立, 关于点集的闭包有下列性质 1.3-4定理,设A是度量空间X的子集,则 (a),A的闭包A是闭集 (b),A是包含A的最小闭集
(c).A为闭集的充要条件是A=A 证明: (a),记A的聚点全体为D,那么,A=AUD.为了证明 A是闭集,只须证A是开集任取x∈A°,则x￠D,x￠A 必存在B(x;e)不含A的点,且B(x;)中的每个点都不是A 的聚点,即B(x;p)cA与B(xy;e)D因此,B(x;e)cA 故A是开集同时也就证明了A是闭集 (b)设F是包含A的任意闭集,要证A是包含A的最小 集,只须证ACF.首先我们用反证法证明F的聚点均是F的 点.若有F的聚点x不属于F,则x0∈F,因为F是开集, 必存在B(x)cF°,于是B(xoe)不含F中的点,这与x 是F的聚点矛盾,因此,F的聚点均在F中.由于ACF,根 据聚点的定义知,A的聚点均是F的聚点,从而A的聚点都 在F中,A∈F,由(a)知A是闭集,即证得A是包含A的最 小闭集。 (c)必要性,若A是闭集,则由(b),A是包含A的最小闭 集,因此,AcA,故A=A 充分性,若A=A,由(a)知A是闭集.所以A是闭集 下面我们将微积分中连续函数的概念推广到一般度量空 间上 1.3-5定义(连续映射)设(X,d)与(Y,d)是两个度 量空间.称映射T:X→Y在点x。∈X连续,是指对于任意