(4) 今取任何非零的x=(;)与y=(n;)满足, 5,< 且令 (∑17ml (5) 则它们满足(3),将(5)代入(4)得H6lder不等式 1Z4 ∑传,n;≤(∑|k 7叫 当p=q=2时,(1)成为 1.2-2柯西-许瓦兹( Cauchy- Schwar2)不等式 ∑51;|≤(∑k mm 12-3闵可夫斯基( Minkowski)不等式 设p≥ 5;< 2,h,<+,那么,有 1/p 1Zp 15;+n, 15; ln 证明对于p=1,(7)显然成立.设p>1, 11 1,令ω;=;+;则, lo, I'=5;+n,I lo, (8) 15;lo,l’-1+Ⅶm;la 对j从1至罪求和,并利用p=q(p-1)及 Holder不等式(1), 13
得, 只,l,≤,,,+E,m,A|o,1 149 ≤(∑, (p-1) (,m)“( q(p-1) 1Zt 15; ( ,小)1z 因此,有 1ZA a 17p ≤(∑1 7; (9) 因为∑15;‘及∑,|收敛,所以,当n→∞时,(9)式 左端级数也收敛,从而得出 Minkowski不等式 (,临+)”≤(豆,1 为了阐明度量空间的概念,掌握验证度量公理的方法, 特别是要利用一些技巧冷证三角不等式(M4),我们再给出 三个重要的范例 1.2-4空间(p≥1).l°是所有p方可和的数列所成之 集.即,每个x=(5,)∈l,均满足, ∑1; 14
对于任意x=(,)∈,y=()∈1,其度量定义为, 1;-7 〈10) 试证l是度量空间. 证明易证(M2)及(M3)成立.对于l中的任意元素 x=(5;),y=(;),z=(5;),利用 Minkowski不等式,得 1/P 1∠P d(x ≤(∑.1 以及 d(x, y) 15;-7l 1/P (,-5;)+(5,-,) ;-5 1/P ∑|5;-m + d 故证明了(M1)及(M4)成立 1.2-5序列空间S.S是所有复数列(有界或无界)组 成的集,其度量定义成 11;- d(x,y)=∑ (11) 其中,x=(;),y=(;).验证S是度量空间 证明由(11)定义的d(x,y)显然满足(M1)、(M2)、 (M3).下面验证(M4),为此,引进函数
由于()=(1+x>0,f(是单调增加的.又, a+b≤l+|b,所以 十 Ial +16 1+|a+b≤1+a+b6 (12) +la+b1 1+ 令z=(5;),并在(12)中,置a=5;-5;,b=5;-n 则有 s,=7 1+1;-T 两边同乘以1/2后,对j从1至∞取和,得, d(x, y)<d(x, z)+d(z, y) 这就验证了(M4)成立,同时证得S是度量空间 1.2-6有界函数空间B(A).定义在集A上的有界函数 全体所成之集B(A),按 d(x, y)=Sup [x(t)-y(t) t∈A 定义度量.试证B(A)是度量空间 证明显然,由(13)定义的d满足(M1)、(M3).今证 d满足(M2),由x=y推出d(xy)=0是显而易见的.反之
如果d(x,y)=0,那么,对于每个t∈A,有, 0≤|x(t)-y(以)≤ sup l=xc(t)-y(功=0 t∈A 于是,x=y.(M2)得证 下面验证(M4),对于每个扌∈A,xy、z∈B(战 x(t)-y(圳=|[x(t)-z(切)]+[z(#)-y(t)] ≤kx()-z(t)+|z(#-y( x(t)-z(*) sup[ 2(t)-y(t) 不等式右端是与无关的数,根据上确界是上界中之最小者, 从而 sup lx(t)-y(t) sup lx(t)-z(t) ∈A t∈A +sup lz(t)-y(t) tEA 即d(x,y)≤d(x,2)+d(z,y) 因此,B(A)是度量空间 习题1.2 1.在1.2-5的(11)中,利用使∑4,收敛的;>0代替1/2,试证 可以得到另外的度量 2.利用(2)证明二正数的几何平均值不超过其算术平均值 3.证明由 Cauchy- Schwarz不等式可推出 (151|+…+|n|)?≤n(l1|2+…+15n12) 4.找一收敛于零的序列,但不属于任何1(1≤p<+∞) 5.找一序列x=(5;),x∈1(p>1).但,x 6.(直径,有界集)在度量空间(X,d)中,一个非空集A的 直径♂(A)定义为,(A)=supd(x,y) 17