如果在R中,每个点x(“盐的坐标是复数, 度量按 d(x,y)=(∑|;- 定义,那么,用类似的方法可证得此空间按度量(4)为一度 量空间,称做酉空间(或称为m维复欧几里得空间),记作 【例3】有界数列空间°,取所有有界复数列作为元素 组成集合,即对于X里的每个元素x=(51,5,…,),简记 作x=(),都存在一个实数Cx,使得, 15;|≤C 按 (x, y)=sups,-n 定义度量,其中,y=(;)∈X,N={1,2…},sup表示上确 界(最小的上界①),令=(X,d则是度量空间 证明由于x=(;),y=(;)都是有界的复数列,所 以,诈;-7,(j=1,2,…)是有界的,并存在上确界.即, d(x,y)=sup;-n是有限的非负实数 j∈ 由x=y推出d(x,y)=0是显然的.反过来,若, d(x,y)=suP1;-η,=0,那么,对于每个j有 0≤1;-7≤sup|与;-”,|=0 因此,5;=η,( ),x=y.即(M2)得证 ①参阅附录1中关于上确界的论述
(M3)显然成立.下面证(M4),对任意z=()∈x 有 怙一”;=1(-5)+(-n) ≤;-5;+1;-”; sup is; -Sil + sup s; -1il7 ∈N e 1,2,…) 因为上确界是一切上界中的最小者,所以, sup is; -; I <sup I5i-Sil +sup Is-n,t ∈N ∈N d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y 从而证得/~是度量空间. 【例4】连续函数空间C[a,b].设J=[a,b上所有实 值连续函数x()所成之集为x,对于任意x(1),y()∈X, 定义其度量为 (5) d(x, y)=max lx(t)-y() 记C[a,b=(X,d),则C[a,b]是一度量空间 证明(M1)与(M3)显然成立.由x=y立即可得 d(x,y)=0.若d(x,y)=0,那么,对于每个t∈[a,b], 有 ≤|x()-y(t)≤ max x(t)-y(t)!=0 于是,x=y.故(M2)成立.下面证(M4),由于在闭区间 上连续函数可取到最大值,因此,存在t∈[a,b,使得 max x(t)-y(t)I=lx(to)-y(to) <max x(t)-g(t)+ max z(*)-y(t) t∈J
即,d(x,y)≤d(x,x)+d(z,y 因此,C[a,b为一度量空间. 在例4的集合X上,还可赋予度量 d(x, y)=x(t)-y(t)d 得到另一度量空间(X,d)(证明留作习题) 【例5】离散度量空间.对于任何非空集合X,定义度 量如下,x,y∈x d(x, y) 易证d满足度量公理(M1)至(M4).因此,(X,d)是度量空 间 此例说明任一非空集台都可以在其⊥競予度量使之成为 度量空间 习题1,1 1证明实直线是一度量空间 2.d(x,y)=(x-y)2是所有实数组成的集合上的度量吗? 3试证d(x,y)=y|x-y|是定义在全体实数所组成之集上的 度量 4.求出由两个点组成之集X上的所有度量,再求出由一个点组成的 集上的所有度量 5设d是X上的一个度量,分别确定满足下列条件的所有常数k (i)使得阳d是X上的度量 i)使得d+k是上的一度量 6.若A是由共项值取0和1的序列组成的l的子空间,那么,A上 70
的导出度量是什么? 7.证明由d(x,1x(t)-y(t)|d定义的度量是例4 中集合X上的另一度量 8证明例5中的d是一度量 9,( Hamming距离)设X是0和1的所有三元有序数组的集合, 证明X由8个元素组成,且d(x,y)=“x与y中项值不同的位置的个 数”是X上一度量,(此空间和类似的n个数组空间在开关和自动控制理 论以及编码中起着一定的作用.d(x,y)通常称做x与y间的Hamm ing距离, 10.证明推广的三角不等式(1) 11.利用习题10证明 Id(x, y)-d(z, w)sd(x, z)+d(y, w). 12,利用三角不等式证明 d(x, 2)-d(y, z)sd(x, y). 13,(M1)至(M4)可用另外的公理代替例如,用(M2)及不 等式 d(x, y)sd(z, x)+d(z, y) 可推出(M3)及(M4), 14.用(M2)至(M4)证明度量的非负性 §1.2三个重要不等式及较复杂的例题 本节要证明的三个不等式,在理论研究和实际问题中是 不可缺少的工具.在本节例题中和以后各章里要多次用到它 们 1,2-1荷尔德( Holder)不等式,设p1,pq=1
∑固☆<+∞,∑m<+∞,那么, 1Z4 ;n,≤(∑,括k 证明令4=t-1则t=a-,对于任意正数a,B, 有(参阅图1) B≤#-d+ du p 图1不等式(2)之图示。其中①对应(2)中第一个 积分②对应第二个积分 如果a=0或B=0,(2)式显然成立,设(;)与(7;) 满足 ∑1;=1, ∑;=1 3) 令,a=1,B=仞;代人(2),得, 对求和并利用(3)式,有 12