第一章度量空间 度量空间是实直线R的推广,其在泛函分析中的地位和 作用类似于微积分中的实直线R.度量空间对数学各种不同 分支中的问题统一处理提供了基础 在微积分中许多结果不依赖于实数或复数的代数结构, 而只与两个数x与y之间的距离概念有关.例如,我们考虑极 限lmf(x)=l,这里只用到x与x以及f与l之间的距离概念 给出了函数极限的定义.从极限概念出发,从而引出了函数 的连续性等重要理论 本章将在一般抽象集合上定义距离(度量),并在此基 础上研究极限、连续和完备等概念. 重要概念、主要内容的概述 首先定义度量空间(§1.1),它是一集合X在其上赋予了 度量,这里的度量就是X的两个元素(点)间的距离函数, 并由一组公理规定这些公理是根据实直线与复平面C上的 两点间距离而抽象得到.(§1.2)例题说明度量空间是广泛存 在的一般概念.研究度量空间的一个重要问题是看其是否具 有完备性(§1.5)及如何使之完备化(§1.6).另一概念是度 量空间是否具有可分性(§1.3),可分的度量空间比不可分的 简单
81.1度量空问 在微积分中研究了定义在实直线R上的函数及其极限, 那里的极限是以R上的距离作基础定义的,而R上任意二点 x,y的距离为:d(x,y)=|x-y。 在泛函分析中,我们将研究更一般的“空间”和定义在 其上的“函数”及相应的“极限”.因此,首先应将R上距 离的概念推广到一般抽象集合X上,并使其具有R上距离的几 个最基本的性质。这样就产生了泛函分析中重要的基本概 念 11-1定义(度量空间,度量).度量空间是由一非空集 合X与一度量d〈或称做距离函数)组成的对(X,d),其中 d是定义⑩在XxX上的一个函数,且对于任意x,y,z∈X, 有: (M1)d是有限的非负实数 (M2)d(x,y)=0当且仅当x=y (M3)d(x, y)=d(y, x) (对称性) (M4)d(xy)≤d(x,2)+d(z,y).(三角不等式) X的元素x称为点,对于固定的x,y∈X,称非负数d(x,y)为 x到y的距离.(M1)至(M4)是度量公理 根据(M4),我们用数学归纳法可证得推广的三角不等 式 d(x1,x)≤d(x1,x2)+d(x2,x)+…+d(x,-1xn) ①符号表示集合的笛卡儿乘积,X×X表示X里元素的所有有序对的集 合
在不至于引起混滑时,可将(X,d)简记作X 对于度量空间(X,d)的任何一个非空子集Y,当我们将 d限制◎在yⅹY上,即在YxY上定义函数d(xy),使 得对于所有的x,y∈Y,有, (x, y)=d(x, y) 或记作d=d ,那么,d是Y上的度量,称(Y,d)为 (X,d)的子空间.d称做Y上的导出度量 1.1-2例题 【例1】设x是所有有序实数对组成的集合,定义 d1(x,y)=11-n+12-m2 这里,x=(51,5n),y=(η,m2),证明d1是X上的一个度 量 证明由于5;,;(=1,2)都是实数,(M1)至(M3)显然 成立,现证(M4),对于任意Z=(1,2)∈X,有, d )=恬1-7+2-n2 (51-51)+(51-m1)+|(2- +(52-72) ≤恬1-5+151-n1+2-22 2-n2 (11-5l+15-52)+(|st-n+|2 72|) d1(x,z)+d1( Q泰阅附录1中关于“限制”概念的论述
因此,d1是X上的一度量 【例2】欧几里得( Euclidean)空间R”.这个空间是由 所有n个实数的有序组x=(1,…,5),y=(,…)等 组成的集合,并按 d(x, y) 5;-m;) (2) 定义欧几里得度量,则R"是度量空间 证明(M1)及(M3)显然成立.若,d(x,y)=0 那么,对于每个j有 0≤|,-n; (5;-n;) 0 所以,与;=η;(j=1,2,…,n),即,x=y,反过来,易 见当x=y时,d(x,y)=0.(M2)得证 在证明(M4)之前,先证柯西( Cauchy)不等式, (a)<(E,)( 这里ak,bk(k=1,2,…,n)均为实数.任取实数λ,有, ≤∑(ak+1bk)2=∑q+2λ∑akbk+12∑b 右端是λ的二次三项式,它对于λ的一切值都是非负的,故其 判别式不会大于零,即, ∑akbk)≤ k=1 成立.利用柯西不等式,得
aA+b)=∑0+2∑akbk+∑b ∑b 在R中任取x=(51,…",5,),y=(m,…,7n),z=(5t,…,s 并在(3)中,令a=5k-5,bk=5-A,则有 -)2≤∑ 即,d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (M4)得证.因此,R是度量空间 n=1时,R=R,d(x,y)=|x-y.n=2时,R2上的度 量为d(x,y)=√(51-)2+(2-2)2,对照例1,它们的集 合是相同的,但度量不同因此,R2与例1中的(x,d1)是不 同的度量空间.这说明一个重要事实,在同一集合上可赋予 不同的度量,构成不同的度量空间 又如,在全体n个实数有序组所成之集上,还可以赋予 如下两个度量 d1(x,y)=∑ ni d(x, y)=ax 可得到两个不同的度量空间 7