定义中的Ax=Ax又可以写成(a-A)x=0 这个齐次线性方程组有非零解的充要条件是 -A=21 22 0 n2 2-a ni 上方程称为方阵A的特征方程方程的左边称 为方阵A的特征多项式 西安建大
西安建大 定义中的 又可以写成 这个齐次线性方程组有非零解的充要条件是: Ax = x (I − A)x = 0 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − − − − − − − − − = n n nn n a a a a a a n a a a I A A 上方程称为方阵 的特征方程.方程的左边称 为方阵 的特征多项式. A
设A为n阶矩阵,A1,A2,…,,为特征方程 的根即A的n个特征值,那么 41=4122…n (2(4)=1+2+…+n 求特征值、特征向量的步骤: ()-A=0求出即为特征值 (2)求齐次线性方程组(-A)x=0 的非零解x即为特征向量 西安建大
西安建大 设 为 阶矩阵, 为特征方程 的根.即 的 个特征值,那么 A n n 1 ,2 , , A n ⑴ A = 1 2 n ⑵ ( ) A n tr = 1 + 2 ++ 求特征值、特征向量的步骤： ⑴ I − A = 0 求出 即为特征值; ⑵ 求齐次线性方程组 (I − A)x = 0 的非零解 x 即为特征向量
2.例题 例54求A20 的特征值和特征向量 解:特征方程为 A-20 aI-A (x-2)(2-4)=0 1元-4 所以A的特征值A1=4,42=2 西安建大
西安建大 2. 例题 例5.4 求 的特征值和特征向量. − = 1 4 2 0 A 解:特征方程为 ( 2)( 4) 0 1 4 2 0 = − − = − − − = I A 所以 A 的特征值 1 = 4 ,2 = 2
对1=4由(41-A)x=0,得对应的特征向量 可取为P=(0,1 对2=2由(2I-A)x=0,得对应的特征向量 可取为P2=(2,) 特征向量不能由特征值唯一确定,反过来对不 同的特征值,我们有下列结论 定理5.5方阵A的对应于不同特征值的特征 向量是线性无关的 西安建大
西安建大 对 1 = 4 由 (4I − A)x = 0 ,得对应的特征向量 可取为 ( ) T P1 = 0 ,1 对 2 = 2 由 (2I − A)x = 0 ,得对应的特征向量 可取为 ( ) T P2 = 2 ,1 特征向量不能由特征值唯一确定,反过来,对不 同的特征值,我们有下列结论. 定理5.5 方阵 的对应于不同特征值的特征 向量是线性无关的. A
例5.5求A=230的特征值和特征向量 202 解:A的特征方程为 A+12 0 1-4=|-22-30|=(2-1(2-2)=0 20-2 所以A的特征值为A1=A2=1,A3=2 西安建大
西安建大 例5.5 求 的特征值和特征向量. − − = 2 0 2 2 3 0 1 2 0 A 解: A 的特征方程为 1 2 0 2 0 2 2 3 0 1 2 0 2 = − − = − − − − + I − A = ( ) ( ) 所以 A 的特征值为 1 = 2 = 1 ,3 = 2