线性方程组的相容性定理 (项晶菁宫春梅 教学目标与要求 通过学习,使学生进一步掌握高斯消元法解线性方程组,掌握线性方程组的相容性定理 ●教学重点与难点 教学重点:线性方程组的相容性定理 教学难点:线性方程组的相容性定理的推导。 ●教学方法与建议 本节首先通过回顾高斯消元法、初等变换等概念并具体应用高斯消元法的例子使得线性 方程组的相容性定理的引入变得自然而易于接受。 ●教学过程设计 1.高斯消元法 设一般线性方程组为 b Jarr + ax b2 ax1+ax十 则称矩阵 12 a1 为方程组(1)的系数矩阵。 b 称矩阵B=(4,) b2
线性方程组的相容性定理 （项晶菁 宫春梅） ⚫ 教学目标与要求 通过学习，使学生进一步掌握高斯消元法解线性方程组，掌握线性方程组的相容性定理。 ⚫ 教学重点与难点 教学重点：线性方程组的相容性定理。 教学难点：线性方程组的相容性定理的推导。 ⚫ 教学方法与建议 本节首先通过回顾高斯消元法、初等变换等概念并具体应用高斯消元法的例子使得线性 方程组的相容性定理的引入变得自然而易于接受。 ⚫ 教学过程设计 1. 高斯消元法 设一般线性方程组为 则称矩阵 为方程组(1)的系数矩阵。 称矩阵 ( ) = = m m mn m n n a a a b a a a b a a a b B A,b 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a =
为方程组(1)的增广矩阵, 当b=0(=1,2,…,m)时齐次方程组 a211+a21X2+ ( inn 十an,x十 +ax.=0 称为方程组(1)的导出组,或称为(1)对应的齐次线性方程组 定义:线性方程组的初等变换 (1)用一非零的数乘某一方程 (2)把一个方程的倍数加到另一个方程 (3)互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换,所得到的新的线性方程组与原方程组同解, 对一个方程组进行初等变换,实际上就是对它的增广矩阵做初等行变换 B=(4,b) b 化为行阶梯 00 r,r+1 00 0 0 t 00 00 00 0
为方程组(1)的增广矩阵。 当 b (i , , ,m) i = 0 = 1 2 时,齐次方程组 称为方程组（1）的导出组，或称为（1）对应的齐次线性方程组。 定义：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程; （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程; （3） 互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得到的新的线性方程组与原方程组同解， 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵做初等行变换 ( ) = = m m mn m n n a a a b a a a b a a a b B A,b 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 11 12 1 1, 1 1 1 22 1 2, 1 2 2 , 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r n r r n rr r r rn r r s s s s s t s s s s t s s s t t + + + + ⎯⎯⎯⎯→ 化为行阶梯 矩阵 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 (2) 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + =
,r+1 C1 01…0 酱00…1cm 00.00 0 00.0 0 00 00.00 00 则以矩阵(3)为增广矩阵的方程组与方程组(1)同解 由矩阵(3)可讨论方程组(1)的解的情况 1)若d,+1≠0,则方程组无解 2)若d+1=0,则方程组有解, H有唯一解; r<n有无穷解 3)特别地,方程组(1)的导出组,即对应的齐次线性方程组一定有解。 当 n有唯一零解 r<n有无穷多解,即有非零解 举例说明消元法具体步骤: 2x, x,+3 例:解线性方程组14x1 5 2 解 (4,b) 25 0 00-12 000 最后一行有0x3=1,可知方程组无解。 2x,+3x3-4x1=1 例2:解线性方程组 x,+3x,-3x,=1 7x,+3x2+x,=0
1, 1 1 1 2, 1 2 2 , 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (3) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r n r r rn r r c c d c c d c c d d + + + + ⎯⎯⎯⎯→ 化为行最 简形矩阵 则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。 由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况 1) 若 ，则方程组无解; 2) 若 则方程组有解， 当 有唯一解; 有无穷解。 3) 特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组一定有解。 当 有唯一零解; 有无穷多解,即有非零解. 举例说明消元法具体步骤： 解： 最后一行有 可知方程组无解。 例 2：解线性方程组 dr+1 0 1 0, dr+ = r n r n = 2 1 3 1 ( , ) 4 2 5 4 2 1 4 0 A b − = − − 2 1 3 1 0 0 1 2 0 0 1 1 − → − − − − → 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 3 1 0 1, x3 = r n r n = 例1：解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 4 2 5 4 2 4 0 x x x x x x x x x − + = − + = − + = − + + = + − = − + = − + − = 7 3 0 3 3 1 0 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x
解 1-23-41 01 (A4,b)= 130-31 0-7310 1-23-41(1-23-41 01-11001-110 002-40 20 00 80)(0 000 1-2021(1000|1 010-10 001-20 00000 00000 对应的方程组为{x2-x4=0 2 2x,=0 所以一般解为 (k为任意常数) 2k 2.齐次线性方程組xm1=0m(2) 齐次线性方程组(2)有解的条件 定理1:齐次线性方程组Amxm=0m有非零解→R(A)<n 定理2:齐次线性方程组 ax1=0m1只有零解 推论:齐次线性方程组 A.x1=0m只有零解>R(4)=n 即|A|≠0,即系数矩阵A可逆 例3:求下列齐次方程组的通解。 x +2 0 (1)2x1+4x2+8x3+x=0 3x1+6x,+2 0
解： 对应的方程组为 即 所以一般解为 ( k 为任意常数) 2 .齐次线性方程组 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理 1：齐次线性方程组 Amn xn1 =0m1 有非零解 定理 2：齐次线性方程组 只有零解. 推论：齐次线性方程组 只有零解 即 , 即系数矩阵 A 可逆。 例 3 : 求下列齐次方程组的通解。 (A,b) = 1 2 3 4 1 0 1 1 1 0 0 0 2 4 0 0 0 4 8 0 − − − → − − 1 2 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 − − ⎯⎯→ − 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 − ⎯⎯→ − 1 2 4 3 4 1 0 2 0 x x x x x = − = − = 1 2 4 3 4 1 2 x x x x x = = = 1 2 3 4 1 2 x x k x k x k = = = = 1 1 0 (2) A x m n n m = R A n ( ) 1 1 0 A x m n n m = A x n n n n 1 1 = 0 = R A n ( ) |A| 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 2 4 0 (1) 2 4 8 0 3 6 2 0 x x x x x x x x x x x + + + = + + + = + + = − − − − − 0 1 0 1 0 7 3 1 1 3 0 3 0 1 1 1 1 2 3 4 − − − − → 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 1 1 2 3 4
解: +00-10-3→001 0000 行最简形矩阵对应的方程组为 2X2 2 即 x,=O 10 2,x4是自由未知量 先求通解,再求基础解系 令 1 10 c1C2为任意常数
解： 行最简形矩阵对应的方程组为 即 是自由未知量 先求通解，再求基础解系 令 则 即: 为任意常数。 1 1 2 0 5 1 2 4 1 3 0 0 10 3 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 − ⎯⎯⎯→ − − → 初等行 变换 1 2 4 1 2 4 8 1 3 6 2 0 A = 1 2 4 3 4 1 2 0 5 3 0 10 x x x x x + − = + = 1 2 4 3 4 1 2 5 3 10 x x x x x = − + = − 2 1 4 2 x c x c = = , 1 1 2 2 1 3 2 4 2 1 2 5 3 10 x c c x c x c x c = − + = − = = 1 2 1 2 3 4 1 2 5 1 0 0 3 0 10 1 x x c c x x − = + − 2 4 x x ， 1 2 c c