1.正交矩阵 正交矩阵与正交变化 2.正交变换 1.正交矩阵 定义5.2如果n阶方阵A满足AA=I 则称A为正交矩阵 定理5.3如果A,B均为n阶正交矩阵, 那么:(1)A-1=Ar 2)4即A为正交矩阵 (3)2(-AA为2n阶正交矩阵 (4)AB,BA都是正交矩阵 西安建大
西安建大 三．正交矩阵与正交变化 A A I T 定义５．２ 如果 阶方阵 满足 = 则称 为正交矩阵． n A A 1.正交矩阵 2.正交变换 1. 正交矩阵 定理５．３ 如果 A , B 均为 阶正交矩阵， 那么：⑴ n T A = A −1 ⑵ A T 即 A −1 为正交矩阵 ⑶ 为 阶正交矩阵 − A A A A 2 1 2n ⑷ AB，BA 都是正交矩阵
定理5.4n阶方阵A为正交矩阵的充要条件 是A的列(行)向量两两正交且均为单位向量 证明:令A=(a1,a2,…,an),则 伪为正交矩阵AA=1台:(a,…,an) T 分1a1=6 i,j=1,2,…,n 0,t≠j 由定理5.3的(2)知上述结论对行向量也成立 西安建大
西安建大 A 定理５．４ 阶方阵 为正交矩阵的充要条件 是 的列（行）向量两两正交且均为单位向量． n A 证明：令 A = (1 ,2 , ,n ) ，则 A 为正交矩阵 A A I ( , , ) I n T n T T = = 1 1 = = = ,i j ,i j j i j T i 0 1 i, j = 1 ,2 , ,n 由定理５．３的⑵知上述结论对行向量也成立．
2.正交变换 定义5.3设P为n阶正交矩阵,x为n维列向 量,则线性变换y=Px称为正交变化 事实上,设y=PC为正交变化,则有 ly=JL,y=√xPPx=√xx=1|x 西安建大
西安建大 2. 正交变换 定义５．３ 设 为 阶正交矩阵， 为 维列向 量，则线性变换 称为正交变化． P n x n y = Px 事实上，设 y = Px 为正交变化，则有 y y, y x P Px x x x T T T = = = =
小结:我们这节课学习的主要内容为 正交向量组,正交矩阵,施密特正 交化方法 其中大家必须理解正交向量组 与正交矩阵的概念,了解施密特正 交化方法。 4西安建大
西安建大 小结： 我们这节课学习的主要内容为 正交向量组，正交矩阵，施密特正 交化方法。 其中大家必须理解正交向量组 与正交矩阵的概念，了解施密特正 交化方法
第二讲方阵的特征值和特征向量 方阵的特征值和特征向量 1.定义 2.例题 1.定义 定义5.4设A为n阶方阵如果数和n维 非零向量x使Ax=Ax成立则称数为方 阵A的特征值,非零向量x称为方阵A的对应 于特征值λ的特征向量 西安建大
西安建大 第二讲 方阵的特征值和特征向量 一. 方阵的特征值和特征向量 1.定义 2.例题 1. 定义 x A A 定义5.4 设 为 阶方阵,如果数 和 维 非零向量 使 成立,则称数 为方 阵 的特征值,非零向量 称为方阵 的对应 于特征值 的特征向量. n n Ax = x x A